cを経路とすると、
∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}
について、∂F1/∂y=∂F2/∂x
が成り立つとき、F1(x,y)dx+F2(x,y)dyは完全微分であると言い、
∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}は、経路に関係なく始点と終点
だけで決まるというようなことを習いました。
ここで、
∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}
は、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つので始点と終点を指定して
積分すれば良いということになるのですが、
∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}は、始点と終点を指定して
積分すれば良いということを「直接」偏微分で考えずに、
もっと初等的に、(線)積分の意味などから
考える方法はありませんか?
自分で考えてみたところ、「∫c F1(x)dx では、
F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、例え経路c上の
座標(x,y)が(5,9)であろうと(5,3)であろうとxの値は5になるので、
∫c F1(x)dxは経路に依存せず、始点と終点を定めて計算すれば
良い」という説明になるのかな?と思いました。
たぶんこれは、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つことを間接的に説明
しているように思えるのですが…
この説明はこの説明で良いのでしょうか?
他の説明の仕方があれば教えてください。お願いします。
A 回答 (1件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.1
- 回答日時:
>「∫c F1(x)dx では、F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、
∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy } が、∫c { F1(x)dx + F2(y)dy } に
すり替わってしまったようです。
それでは、∂F1/∂y = ∂F2/∂x だけでなく、
∂F1/∂y = ∂F2/∂x = 0 を仮定したことになります。
∂F1/∂y ≠ 0 の場合が証明できていません。
証明のヒント:
ストークスの定理を2次元で使う。
http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku51.htm
この回答への補足
>>∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy } が、∫c { F1(x)dx + F2(y)dy } に
>>すり替わってしまったようです。
すり替わったというか、僕は、一般的な
∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy }
ではなく、その特殊な場合である∫c { F1(x)dx + F2(y)dy }の場合は
どうなるのだろうか?と思って考えているのですが…
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
(dy/dx)+y=xの微分方程式はどの...
-
媒介変数の積分ってなぜあのよ...
-
dy/dx=-x/yの意味が解りません
-
∫x^2√(4-x^2)dxの積分
-
g(x)g'(x)の積分はどうやるんで...
-
1/(x*(x-1)^(1/2))の積分について
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
∮a^xdxこれを公式的に導いてほ...
-
1/(1-y)の積分は、なぜ-log(1-y...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
微積分 dの意味
-
2次微分の変数変換
-
フーリエ変換の問題について
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
次の微分があってるかを教えて...
-
媒介変数の積分ってなぜあのよ...
-
台形の任意の高さにおける上辺...
-
g(x)g'(x)の積分はどうやるんで...
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
√((y')^2+1)のx微分が分からな...
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
おすすめ情報