cを経路とすると、
∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}
について、∂F1/∂y=∂F2/∂x
が成り立つとき、F1(x,y)dx+F2(x,y)dyは完全微分であると言い、
∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}は、経路に関係なく始点と終点
だけで決まるというようなことを習いました。

ここで、
∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}
は、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つので始点と終点を指定して
積分すれば良いということになるのですが、
∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}は、始点と終点を指定して
積分すれば良いということを「直接」偏微分で考えずに、
もっと初等的に、(線)積分の意味などから
考える方法はありませんか?

自分で考えてみたところ、「∫c F1(x)dx では、
F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、例え経路c上の
座標(x,y)が(5,9)であろうと(5,3)であろうとxの値は5になるので、
∫c F1(x)dxは経路に依存せず、始点と終点を定めて計算すれば
良い」という説明になるのかな?と思いました。
たぶんこれは、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つことを間接的に説明
しているように思えるのですが…
この説明はこの説明で良いのでしょうか?

他の説明の仕方があれば教えてください。お願いします。

A 回答 (1件)

>「∫c F1(x)dx では、F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、



∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy } が、∫c { F1(x)dx + F2(y)dy } に
すり替わってしまったようです。
それでは、∂F1/∂y = ∂F2/∂x だけでなく、
∂F1/∂y = ∂F2/∂x = 0 を仮定したことになります。
∂F1/∂y ≠ 0 の場合が証明できていません。

証明のヒント:
ストークスの定理を2次元で使う。
http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku51.htm

この回答への補足

>>∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy } が、∫c { F1(x)dx + F2(y)dy } に
>>すり替わってしまったようです。
すり替わったというか、僕は、一般的な
∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy }
ではなく、その特殊な場合である∫c { F1(x)dx + F2(y)dy }の場合は
どうなるのだろうか?と思って考えているのですが…

補足日時:2009/05/24 23:01
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Q変位電流ってなんですか!!!???

現在マクスウェルの方程式を勉強しています。

そこでアンペール・マクスウェルの方程式で、変位電流というものがでてきました。しかし、その教科書ではその名前のことしか教えてくれず、調べてもこれと言ったいいものがありません。

式の導出はいいから、結局変位電流ってなんなの?といった具合です。


教えていただけませんか?具体的にどういうものなのか、どういったときに見られる現象なのか?教えていただきたいです。

ちなみにいくつか調べた結果、変位電流は「実際には存在しない電流である」や「コンデンサで交流を流したときにでるものである」という情報を入手しています。


矛盾していて困っています。

Aベストアンサー

 平行板コンデンサーがあって交流電流が流れているとします。コンデンサーにつながる導線には電流(=電荷の移動)があり、導線の周囲には変動する磁場が生じます。コンデンサーの極板の間には移動する電荷が存在しないので電流がありませんが、では、極板間の空間(の周囲)には磁場は生じないのでしょうか。

 そこだけ磁場が発生しない、というのは不自然で、やはりそこにも磁場が生じるはずだと考え、磁場を生じる原因として電場の変化があると考えられたのだと思います。

 磁場を生じるので電流と同じ働きをするが、電荷の移動である普通の電流とは違う、ということで「変位電流」というような呼び方をするようです。
 ※なぜ位置の変化を表す「変位」という言い方をするのかは私にはよくわかりません。識者の回答を待ちましょう。

http://www.cqpub.co.jp/dwm/Contents/0083/dwm008301420.pdf

Q導線の周囲にある電界

「電流の流れている導線の周囲には電界は存在しない」現象の理由として、「導線中にある正負の電荷量は等しいため打ち消しあうから」と説明されましたが、電流が流れている時、導線の正負の電荷量が等しいということが理解できません。

電界による電荷の移動が電流だと考えると、正負の電荷量が同じでは、導線に電流は流れないのでは?と思っています。
当然、この電流というのは、導線に電池等を接続した時に流れる定常電流のことを意味しています。
どのように解釈したら良いか、何方かのご教示をお願いします。

Aベストアンサー

質問を読んで私が頭の中で想像したのは,導線に流れる定常電流と,電磁気学を学ぶと一番最初によく出てくる静止した点電荷(荷電粒子)が作る電場との対比です.定常電流は電荷の移動なんだから点電荷が作るような電場があってもいいはずであると・・・

たしかに同じ符号の電荷が単独(点電荷として)であれ集団であれ存在すれば,静止してようが(電流として)運動してようが電場は生じます.しかしながら,電流が流れている導線中に存在する電荷は,定常電流として現れている移動した電荷「だけ」ではありません.
すでに学んでいるかと思いますが,導線を流れる電流は微視的な世界で見ると,導線をつくる金属原子の「自由電子」つまり負の電荷の流れです.普段自由電子は1つの原子に捕われず原子間を好き勝手に運動していますが,電圧(電位差)をかけることによって,それが(平均的に)同一方向に運動し,巨視的には定常電流として見えます.
一方で忘れてはいけないのは,導線そのものを作っている金属原子の存在です.金属原子のほうは自由電子のように勝手に動くことはできませんが,自由電子を含めた金属原子そのものは電気的に中性なので,自由電子を除いた金属原子はその分だけ正に帯電しています.
結果として電圧をかけると,固定された導線(=正に帯電している金属原子)の中に定常に流れる電流(=電気的に同量の負に帯電している自由電子)があるわけですが,両者は運動してるしていないの違いはあれ,巨視的にはどの時間の導線のどの一部分を見ても,電気的には両者が打ち消しあって中性になっています.つまり「導線中にある正負の電荷量は等しいため打ち消しあうから」→「電流の流れている導線の周囲には電界は存在しない」ということになります.

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