質問させてください。

半径:r の球があり、
それを任意の平面で切ったとき、
底面(切り口)からの高さをHとします。

その切り取られた部分の体積Vを求める公式が、
V=(π/3)×H^2×(3r-H)
となっていました。

公式をみてもなぜそうなるかが全くわかりません。
わかる方おられましたらぜひご教授ください。
宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

図より、高さxにおける断面積は{r^2-(r-x)^2}*πとなるので、


積分範囲0~Hでxについて積分すればよい。

∫{r^2-(r-x)^2}×π dx
=∫(2rH-H^2)×π dx
=πrx^2-πx^3/3
=(π/3)×H^2×(3r-H)
「球を任意の平面で切ったときの体積」の回答画像2
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この回答へのお礼

図付きの回答までいただきありがとうございます!
非常に分かりやすかったです!
完全に謎が解けました!

お礼日時:2009/05/26 17:39

そもそもですが、


x^2+y^2=r^2をx軸周りに回転させると半径rの球になり、その体積は

∫[-r,r]πy^2dx
=∫[-r,r]π(r^2-x^2)dx

=4πr^3/3
で求められることはわかりますか?

そうすれば、求める体積は
∫[-r,H-r]πy^2dx
であり、これを計算すれば
V=(π/3)×H^2×(3r-H)
となるかと
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
ずっと数学から離れてたので解き方が全く思いつきませんでした。
参考になりました!

お礼日時:2009/05/26 17:38

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n=11~14まではan=6n+3の式になる。
n=15~17まではan=6n+4の式になる。
...
これでは場合分けが無数にできてしまいますので
一般式は簡単には導出できませんね。
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>nが2の場合、半径rの円は18個、重なり合わないように配置できます。
コンパスを使って図を描いて見ましたか?12個になりますよ。

>nが3の場合、半径rの円は24個、
この場合も図を描くと18個になりますね。

とりあえずn=1~30までに対する重なりあわない円の個数{an}を求めてみました。
a1=6,a2=12,a3=18,a4=25,a5=31,
a6=37,a7=43,a8=50,a9=56,a10=62,
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この円錐を、xz平面に平行な平面y=sで切ると、切り口は図2のような円になります。
z=y に y=s を代入すると z=s
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したがって、円錐の側面上の点(x,y,z)は、
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y=±√(x^2+s^2)  ・・・式3

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=2∫【s~12】√(y^2-s^2)dy

解法2
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=2∫【0~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx

どちらでも S(s) は同じ式になると思います。
あとは、問題で与えられた範囲で面積を積分して体積を求めます。

(小さい方の体積)=∫【6.9~12】S(s)ds

以上です。
積分は公式を見ながらがんばってください。

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Q高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の

高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の角度で交わる平面で
切断したとき、小さい方の体積を求めよ。

これを次のように考えましたが、答えとは異なるのですが、
考え方のどこが間違っているのか分かりません。考え方を示しますので
誤りをご指摘ください。
最初に切断したときの切り口をS1とする。
次に小さい方の体積を切り口S1に平行な平面で切った切り口をS2とする。
このとき、S1とS2は相似な図形だから、以下、S1に平行な平面で切った
切り口はすべて相似であることから、この切り口の面積を積分すると求める体積になると
思いました。
中心を通って、S1と45°になる直線をX軸にして、中心のX座標を0として、
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例えば、y=x^2とy=2x^2とは相似としていいですが、-1≦x≦1の区間だけにすると相似ではありません。
相似であると明確に証明できない限りはむやみに相似と判断しないことです。


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(x=0のとき1倍、x=aのとき0倍になる)

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弦ABの弦長を「l」(Lの小文字),基準円の半径OAを「R」,円周率を「π」とすると,偏角δ=l/2R×180°/πという公式があるのですが,この公式の導き方を教えてください。
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Aベストアンサー

「l」は弧ABの長さです

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