質問させてください。

半径:r の球があり、
それを任意の平面で切ったとき、
底面(切り口)からの高さをHとします。

その切り取られた部分の体積Vを求める公式が、
V=(π/3)×H^2×(3r-H)
となっていました。

公式をみてもなぜそうなるかが全くわかりません。
わかる方おられましたらぜひご教授ください。
宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

図より、高さxにおける断面積は{r^2-(r-x)^2}*πとなるので、


積分範囲0~Hでxについて積分すればよい。

∫{r^2-(r-x)^2}×π dx
=∫(2rH-H^2)×π dx
=πrx^2-πx^3/3
=(π/3)×H^2×(3r-H)
「球を任意の平面で切ったときの体積」の回答画像2
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この回答へのお礼

図付きの回答までいただきありがとうございます!
非常に分かりやすかったです!
完全に謎が解けました!

お礼日時:2009/05/26 17:39

そもそもですが、


x^2+y^2=r^2をx軸周りに回転させると半径rの球になり、その体積は

∫[-r,r]πy^2dx
=∫[-r,r]π(r^2-x^2)dx

=4πr^3/3
で求められることはわかりますか?

そうすれば、求める体積は
∫[-r,H-r]πy^2dx
であり、これを計算すれば
V=(π/3)×H^2×(3r-H)
となるかと
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
ずっと数学から離れてたので解き方が全く思いつきませんでした。
参考になりました!

お礼日時:2009/05/26 17:38

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Q球体を切った時の直径の求め方

球体を切った時の直径の求め方を教えてください。

例えば、直径10センチの球が有ったとします。
この場合真っ二つにしたら、その断面の円は当然10センチですよね。

では、1センチで切った場合,2センチで切った場合などの時
直径の求め方はどの様になるのでしょうか?

球体の大きさと、切る場所が任意の場合の求め方をご存じの方が
いらっしゃいましたら(出来るだけ分かりやすく)教えてください。

Aベストアンサー

直径10センチの球面の方程式は
x^2+y^2+z^2=25
x=0の面(YZ座標平面)で切断した切断面で考えると境界線は
y^2+z^2=25
の円周になる。
この端y=-5からa(0≦a≦10(センチ))の距離のy=-5+a(センチ)の平面(切断面では直線)で切断したときの切断面の直径Dは、D=2z=2√(25-y^2)にy=-5+aを代入して求めることが出来る。

 D=2√{25-(-5+a)^2}=2√(10a-a^2)(センチ)

となります。aの範囲:a=0~10(センチ)。

Q球を平面で切断したときの表面積

半径rの球があります。この球の表面積は4πr^2です。
では、この球を球の中心Oからaの距離(0<a<r)で垂直に平面で切断したとき、大小2つの図形に分かれますが、小さいほうの図形の曲面部分の表面積はどうなるんでしょうか?

半球の場合、曲面部分の表面積は2πr^2となりますが、上記のように任意の位置できった場合のうまい算出法が見つかりません。
数学の苦手な人にも説明できるよう、中学生レベルの知識で解けないかとも考えたのですが、やはり積分を駆使しないとダメなんでしょうか?

解法のヒントでも良いので教えてください。

Aベストアンサー

立体角の単位はステララジアン[sr]で、半径rの球の表面積を半径の二乗で割ったもので立体角が定義されます。
半径rの球の表面積は4πr^2 ですね。
一点の回り全空間の立体角は、球の全表面を半径の二乗で割って、4πr^2 /r^2 = 4π[sr]です。
球の部分表面積は立体角にr^2を掛ければ球の表面積になります。
以上が理解できていれば、求めたい球面の立体角と全球面の立体角4πの比から球面の面積が求められます。特に積分は必要としませんね。
#1さんの回答にあるように、求めたい球の表面の立体角に半径の二乗を掛けてやれば、求めたい部分球の表面積になりますね。

立体角の定義をしっかり覚えてください。そうすればこういった問題も比較的簡単に解けるようになります。

ついでに平面角のラジアン角の定義も確実に覚えておいてください。役立つと思います。
半径rの全円周2πrを半径rで割ったのが一点の回りの全平面のラジアン角2πです。度単位の360°の角度に対応します。円弧の長さはラジアン角[rad]に半径を掛けると円弧の長さになるということを覚えておいてください。

立体角の単位はステララジアン[sr]で、半径rの球の表面積を半径の二乗で割ったもので立体角が定義されます。
半径rの球の表面積は4πr^2 ですね。
一点の回り全空間の立体角は、球の全表面を半径の二乗で割って、4πr^2 /r^2 = 4π[sr]です。
球の部分表面積は立体角にr^2を掛ければ球の表面積になります。
以上が理解できていれば、求めたい球面の立体角と全球面の立体角4πの比から球面の面積が求められます。特に積分は必要としませんね。
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QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q球と平面の交わりである円の中心と半径

球x^2+y^2+z^2=25と平面3x-4y+5z-30=0の交わりである円の中心と半径を求めよ。
という問題です。

円の中心の座標を(a,b.c)とすると、平面上にあるので3a-4b-5c=30
という条件式は求まったのですが、その他の条件式がさっぱりです。
平面をxについての式に変形して球に代入をしてみたりはしたのですが手詰まりしてしまいました。
ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>円の中心の座標を(a,b.c)とすると、平面上にあるので3a-4b-5c=30…(1)

「円の中心(a,b,c)と半径r」と「球の中心(0,0,0)と半径R=5」の間に3平方の定理が成り立つことから
 (a^2+b^2+c^2)+r^2=25…(2)

球の中心と円の中心の距離は球の中心から平面に降ろした垂線の長さに等しいことから
a^2+b^2+c^2=30^2/(9+16+25)=18…(2) なので
r^2=25-18=7
∴r=√7 …(3)
(a,b,c)を通る平面の法線は原点を通ることから
 x/3=y/(-4)=z/5(=tと置く)…(4)
この法線上に点(a,b,c)があることから
 a/3=-b/4=c/5=t…(5)
a=3t,b=-4t,c=t …(6)
(6)を(2)に代入
(9+16+25)t^2=18
∴t=3/5
(6)から
 ∴a=9/5,b=-12/5,c=3

Q円の切れ端の面積の計算方法を教えてください

図が描けないのでなんとも説明が難しいのですが、円の切れ端の面積の
計算方法を教えてください。半径400mmの円があります。
その中心に直線を引くと半分の面積の計算は分かりますが、それでは中心から少しずれたところに水平の線を引いて(図でみた場合中心から少し上でも下でもいいですが)その面積の計算方法が分かりません。
何年か前に微分で求めるとかいうのをテレビでみたのですが、私は微分なんかに全く縁が(円が)ありません。しゃれてる場合じゃありませんが。
確か、誤差は限りなく0であるからどうのこうのと言ってました。
どなたかお分かりの方おりましたら、数学落ちこぼれに分かるような
説明をしていただけませんでしょうか。興味半分の質問ではなくて仕事で使います。どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

エクセルの計算式で表すと

=400^2*ACOS(x/400)-x*SQRT(400^2-x^2)

です。x=100 の場合の計算結果は

172168.738 (mm2)

となりました。

Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Q円の途中で切った面積の出し方教えて下さい

半径250mmの円があります。
その円弧から中心に向かって200mmの所で切ります。
そこで切られた面積を求めたいのですが。
説明しづらいので以下のHP見て頂ければと思います。
http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Himawari/4171/gif/kim.jpg
単純な質問なのかもしれませんが宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

切り口の弦の両端と中心を結ぶ直線と、切り取られた部分の円弧から成る扇形の
面積から、切り口の弦とその両端から中心への直線から成る三角形の面積を引け
ば出てきます。

中心をO、弦の両端をそれぞれA,B、中心から弦に引いた垂線と弦の交点をM、
その延長が円弧と交わる点をCとおき、求める面積をSとします。
OAとOBの長さは半径と等しいので250mm、MCの長さは題意より200mmなので
OCの長さは50mmです。

扇形OCBの中心角をθとすると、cosθ=50/250=1/5になります。・・・(1)

扇形OCBの面積は、250^2×π×(θ/360)ですから、扇形OABの面積は
 2×250^2×π×(θ/360)・・・(2)

MBの長さは三平方の定理より100√6なので、ABの長さは200√6
(円の中心から弦に引いた垂線は、弦を2等分するので)
よって三角形OABの面積は50×200√6×0.5=5000√6 ・・・(3)

したがって求める面積Sは(2)と(3)から
 S=125000π×(θ/360) - 5000√6 ・・・(4)

さて、(1)からθは約78.46度ですので、
 S≒125000×3.1416×0.2179 - 5000×2.4495
  =85569.33 - 12247.5
  =73321.83

よって、S=73321.83です。単位は平方ミリです。

切り口の弦の両端と中心を結ぶ直線と、切り取られた部分の円弧から成る扇形の
面積から、切り口の弦とその両端から中心への直線から成る三角形の面積を引け
ば出てきます。

中心をO、弦の両端をそれぞれA,B、中心から弦に引いた垂線と弦の交点をM、
その延長が円弧と交わる点をCとおき、求める面積をSとします。
OAとOBの長さは半径と等しいので250mm、MCの長さは題意より200mmなので
OCの長さは50mmです。

扇形OCBの中心角をθとすると、cosθ=50/250=1/5になります。・・・(1)

...続きを読む

Q第一章→第一節・・・その次は?

よく目次で
第一章○○○
 第一節△△△
 第二節□□□
第二章◇◇◇~
とありますよね?その第一節をさらに分けたい場合、第一何となるのでしょうか。
ご存知の方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

たまたま手元に「公用文作成の手引き」という冊子があります。
役所で使用する文書規定の本です。

これによると、章、節、項までは皆さんのおっしゃる通り。

さらに、「項目を細別する見出し符号は以下による。」とあります。

第一章 第二章・・・
 第一節 第二節・・・
  第一項 第二項・・・
   第1 第2
    1 2 3
     (1) (2) (3)
      ア イ ウ
       (ア) (イ) (ウ)
        A B C
         (A) (B) (C)
          a b c
          (a) (b) (c)

注1:「第1」を省略して「1」からはじめても良い。
注2:「イ」「ロ」「ハ」「ニ」は用いない。


以上のように書いてありました。
しかし、何にせよ法律で決まっているわけでもないし、通常は
自分の好みで選択して、問題ないと思います。

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Q体積を重さに置き換えるには?

タイトルにあるとおり、体積(縦×横×高さ)で出る数字を、重さ(Kg)に置き換えたいのですが、どういう計算をしたらいいのでしょうか?
どなたか教えてください。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

体積を質量に換算するには単位体積当たりの質量を体積にかけてやれば求まります。

(質量[kg])=(体積[m^3])×(単位体積当たりの質量[kg/m^3])
(質量[g])=(体積[cm^3])×(単位体積当たりの質量[g/cm^3])
液体のような場合
(質量[kg])=(体積[L])×(単位体積当たりの質量[kg/L])
(質量[g])=(体積[mL])×(単位体積当たりの質量[g/mL])
ここで,
1[L](1リットル)=1000[mL](ミリ・リットル)=1000[cc]

単位体積当たりの質量には

○鉄やアルミや岩石などの塊では 密度[g/cm^3]または[kg/m^3]

○牛乳や水や油などの液体では  比重[g/cc]または[g/mL]または[kg/L]

○お米や綿や砂や発泡スチロールやビーズなど
隙間に空気があるようなものでは
単位体積の質量を計測した値[g/ml]または[kg/L]など

をつかって計算します。


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