剰余の定理と因数分解（あまりの決定）

多項式P(X)を、X-1、X-2で割ったあまりがそれぞれ５，７である。
P(X)を(X-1)(X-2)で割ったあまりを求めよ。

ってあるのですが
解説では(X-1)(X-2)で割った場合を考えているから、
あまりは１次式か定数でax+bとおける。

この文章を読んでもなぜ
ax+bとおくのか分かりません。

文章力と理解力がないので
わかりやすく解説していただけると嬉しいです。

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2009/06/06 18:17

＞この文章を読んでもなぜ

＞ax+bとおくのか分かりません。

これは文章からは分かりません。

「整式をｎ次の整式で割ると、余りは（ｎ－１）次式になる」

という知識が必要です。ここで（ｎ－１）次式というのは高々（ｎ－１）次式という意味です。

(X-1)(X-2)は２次式なので、余りは高々（２－１）次式、つまり高々１次式に成ります。だからax+bとおけるということです。「高々」ですから１次式かもしれないし、定数かもしれません。

１行目で、X-1、X-2はいずれも１次式ですから余りは（１－１）次式、つまり定数に成っています。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2009/06/06 18:12

こんにちは。

普通の割り算と似たようなことなのですが、
たとえば、
１７　÷　３　＝　５　あまり　２
ですよね。
１７　÷　３　＝　４　あまり　５
とはしません。
なぜかと言えば、あまりの「５」は、まだ３で割れて、あまりをもっと小さくできるからです。


同様に、
多項式を二次式で割ったときのあまりは、二次式よりも次数が小さくなければいけません。
（ｘ－１）（ｘ－２）＝　ｘ^2　－　３ｘ　＋　２
は二次式です。
余りが二次式以上であれば、まだ割り算ができて、あまりを一次以下の式（ａｘ＋ｂ）にできるのです。
（ａがゼロであれば、定数）

他の例では、たとえば、
五次式で割った場合の余りは四次以下の式なので、
あまりを
ａｘ^4　＋　ｂｘ^3　＋　ｃｘ^2　＋　ｄｘ　＋　ｅ
と置くことができます。


以上、ご参考になりましたら幸いです。