出産前後の痔にはご注意!

arcsinxのマクローリン展開は、どのようにすればよいのでしょうか?

A 回答 (2件)

マクローリン級数展開

    • good
    • 9
    • good
    • 10

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q(1)arcsin(x)のx=0でのtaylor展開を求めよ。

(1)arcsin(x)のx=0でのtaylor展開を求めよ。
(2)(1)を用いて、6arcsin(1/2)を計算して、厳密値と比較せよ。
特に、x=0でのtaylor展開と
6arcsin(1/2)がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問の回答

(1)
>テイラー展開はできました。これを求めたことでx=0でのということに
>なるのでしょうか?
テイラー展開がxのべき乗和の形に展開されているのでx=0の回りでのテイラー展開といえます。なお、x=0の回りのテイラー展開をマクローリン展開といいます。

(2)
f15(1/2)が3.1459198・・・となりません。
>fn(x)をf(x)のx^nの項までの和とすれば
と置いたので
f15(1/2)はx^15以下の次数の項の和です。項数で言えば8つ目までの項の和です。
f15(1/2)=

質問者さんの式では
f15(1/2)として 前から15項の和(つまりxの29乗以下の項の和)の式でx=1/2と置いていますので、これは f29(1/2)になります。
当然 f29(1/2)≠f15(1/2)
ですね。

Q友達からarcsin x のx=0を中心とするテイラー展開(|x|<1

友達からarcsin x のx=0を中心とするテイラー展開(|x|<1)を教えてと言われ,ライプニッツの公式を使って説明しようとすると習っていないらしく,さらにニュートンの二項定理も習っていないと言われました。
この2つを使わずにarcsin x を説明するにはどのように説明するのがよいか教えていただけないでしょうか?
地道にn階微分もしてみたのですが,計算が面倒になりすぎるのと,イマイチ規則性が掴めません。
どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

テイラー展開を何に用いるかで考え方が変わります。
通常低次の1項か2項をとってxの小さいところの値を求めるのに使います。高次までとるのはしんどいだけで、数値計算を本格的にやるにはコンピューターが適しています。
arcsinxは絵を描いてみればわかるように|x|<1ではsinxに似ています。
sinxがy=xから少しずつ下がっていくのとまったく同じ調子でarcsinxはy=xから少しずつ増えていきます。
結論
y=sinxの展開式はy=x-x^3/6+...
y=arcsinxの展開式はy=x+x^3/6+...

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q逆三角関数のn回微分

ArcsinX ArccosX ArctanX
のn回微分の求め方が分かりません。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

Ag-mp さんのご回答:
ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)  (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.

ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2)  (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
         + ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.

(3)  (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて,合成関数の微分と見なすべき問題です.
つまり,
(4)  f(x) = 1/√(1-x) = (1-x)^(-1/2)
(5)  g(x) = x^2
として
(6)  h(x) = f(g(x))
の高階導関数を求める問題になります.

この種の問題はなかなか面倒で,
見通しよく扱うには Bell の多項式と呼ばれるものを使う方法が一般的ですが,
なかなかきれいな形にはまとめられないことがほとんどです.

質問の arcsin,arccos についてはたくさんの項の和,
という形にしかならないようです.

arctan については,岩波の数学公式集に
(7)  (d/dx)^n arctan(x)
    = (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
という恐ろしげな式が載っています.
どうやって導いたのか,すぐには見えません.
まあ,よくこんな式求めましたよね.

というわけで,簡単に求められる話ではありません.
(7)はこの式がわかっていれば,帰納法で証明できそうではあります.

Ag-mp さんのご回答:
ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)  (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.

ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2)  (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
         + ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.

(3)  (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
(3)と(8)も。
失礼しました。

Q大学積分

1/x^3-1 の積分の問題がわかりません。
部分分数で
 1/x^3-1=(1/(x-1)-(x+2)/x^2+x+1)*1/3・・・・・・・(1)
=1/3*1/x-1 - 1/6*(2x+1)/x^2+x+1 - 1/2*1/(x+1/2)^2+(√3/2)^2・・・・・・・(2)

として計算するようなのですが
(1)~(2)に分ける仕方がよくわかりません。

Aベストアンサー

そんな奇妙な分けかたをするから、解からないのです。
x^3-1 は根が全て単根なのだから、素直に
1/(x^3-1) = A/(x-1) + B/(x-ω) + C/(x-ω^2) と置きましょう。
ω は 1 の虚三乗根のひとつ。
ω = (-1+i√3)/2 でも、ω = (-1-i√3)/2 でも、どちらでも構いません。

式の両辺に (x-1) を掛けて x→1 の極限をとる。
式の両辺に (x-ω) を掛けて x→ω の極限をとる。
式の両辺に (x-ω^2) を掛けて x→ω^2 の極限をとる。
…を各々行えば、定数 A,B,C の値が判ります。

後は、積分して
∫dx/(x^3-1) = A∫dx/(x-1) + B∫dx/(x-ω) + C∫dx/(x-ω^2)
の右辺を計算・整理すればよいです。
∫dx/(x-a) = log(x-a) は、習いましたよね?

答えの式に虚数の係数が残ることに心理的な抵抗があるなら、
オイラーの等式 e^(iy) = (cos y) + i(sin y) でも使って
適当に変形すればよいでしょう。(気持ちの問題ですが…)

そんな奇妙な分けかたをするから、解からないのです。
x^3-1 は根が全て単根なのだから、素直に
1/(x^3-1) = A/(x-1) + B/(x-ω) + C/(x-ω^2) と置きましょう。
ω は 1 の虚三乗根のひとつ。
ω = (-1+i√3)/2 でも、ω = (-1-i√3)/2 でも、どちらでも構いません。

式の両辺に (x-1) を掛けて x→1 の極限をとる。
式の両辺に (x-ω) を掛けて x→ω の極限をとる。
式の両辺に (x-ω^2) を掛けて x→ω^2 の極限をとる。
…を各々行えば、定数 A,B,C の値が判ります。

後は、積分して
∫dx/(x^3-1) = A∫dx/(x-1) + B∫dx/(x-ω...続きを読む

Qtanxのマクローリン展開について

「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。

f(x)=sin(x)やf(x)=cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''(0)より級数形式の一般項を求めようとしました。

tanx=sinx/cosxなので、f'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。

最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。

わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。
できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。

Aベストアンサー

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。
tanxをxで微分すると
(tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2
となります。
あとは
f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3
f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3
といった感じで、f''(x)、f'''(x)、…は計算できます。

Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

Q無限級数Σ(n=1~∞)(n/n^2+1)の収束・発散

無限級数Σ(n=1~∞)(n/n^2+1)の収束・発散はどのようにしてもとまるのでしょうか?

n^2+1は全て分母にあります。
ダランベールを試したのですが…値が1になってしまい行き詰ってます…。

判別方法と回答をお願いします…。

Aベストアンサー

n ≧ 1 において
n/(n^2 + 1) ≧ n/(n^2 + n) = 1/(n+1)

∴ Σ n/(n^2+1) ≧ Σ 1/(n+1)
発散


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング