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「二次不等式x^2-4x-5≦0…(1)とx^2+kx+k^2+2k-5≧0を同時に満たすx値の範囲が3≦x≦5のときkを求めよ」という問題で、

(1)を解いて-1≦x≦5…(2)となる。
またx^2+kx+k^2+2k-5≧0…(3)
f(x)=x^2+kx+k^2+2k-5とおく。
二次不等式(1)と(3)を同時に満たすxの値が3≦x≦5より
「f(3)=0」

とあったのですがなぜ、f(3)=0となるのですか?
教えてください

A 回答 (3件)

図を添付しますからじっくり見てくれれば


なぜf(3)=0でなければいけないか
わかるはずです。

図と比較しながら説明を読んでください。

-1≦x≦5…(2)の範囲で
x値の範囲が3≦x≦5であるためには
図より
-1≦x<3でf(x)<0 …(●)
3<x≦5 でf(x)>0 …(■)
そしてx=3でf(x)=0 …(▲)
であることが必要十分条件ですね。

(▲)から f(3)=0 が必要条件ですね。

[検証]
f(3)=9+3k+k^2+2k-5=(k+1)(k+4)=0から
k=-1,k=-4
k=-1の時f(x)=x^2-x-6,f(-1)=-4<0,f(5)=14>0 (●),(■)を満たす。
k=-4の時f(x)=x^2-4x+3,f(-1)=35>0,f(5)=8>0 (●)を満たさない。不適。
これでk=-1ときまる。
このとき(●),(■),(▲)の必要十分条件が満たされていることが確認できます。
「二次不等式の問題です。」の回答画像2
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f(x)=x^2+kx+k^2+2k-5=0 の2つの解をα、β(α>β)とする。


と、すると、x^2+kx+k^2+2k-5≧0 から、x≧α、x≦βになる。
そこで、数直線を書いてみると、3≦x≦5 になるためには、α=3、β<-1 でなければならない。
従って、グラフを書けば分かるだろうが、f(3)=0 ‥‥(1)、f(-1)<0 ‥‥(2) であれば良い。
(1)から、(k+1)(k+4)=0、(2)から、(-1-√17)/2<k<(-1+√17)/2。
よつて、k=-1。
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不等式(1)の解が


-1≦x≦5
であることと、(1)と(3)を同時に満たすxの範囲が
3≦x≦5
であることから、
3≦x
という条件は、不等式(3)によるものということが読み取れます。
それに加えて、少なくとも3≦x≦5の範囲でf(x)≧0なのだから、
f(3) = 0
ですね。
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この回答へのお礼

なるほど、そういうことですか。
よく分かりました。回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/07/12 10:16

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