二次関数の最小値・最大値の問題

半径2cmに内接する長方形で面積が最大となるものを求めよ。
という問題です。

一辺をxとして以下の式まで立てたのですが…
ｙ＝x * √(4^2 － x^2)
ここからどのようにしたら良いかわかりません。

わかる方よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/18 18:52

まず、xの範囲を求める。

0<xであるのはすぐにわかる。上限は√(4^2-x^2)>0から決められる。

y=x*√(4-2-x^2)
の形では求めるのは面倒。そこで両辺を2乗する。

y^2=x^2*(4^2-x^2)
yが最大のときy^2は最大となる。
つまり、x^2*(4^2-x^2)が最大となるxを求めればよい。

この式はxの4次式であるが、x^4,x^2の項しかないので、x^2=tとでもおくとtについての2次式になります。
xの範囲からtの範囲を求め、その範囲内でy^2が最大となるtを求めればよい。

この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございます。


ずっと悩んでいたのでスッキリしました。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/07/18 19:19

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/07/18 19:18

y^2＝x^2*(16-x^2)、但し、16＞x^2＞0、y＞0.

よって、相加平均・相乗平均から、（x^2）＋（16-x^2）≧2√{x^2*(16-x^2)}　→　8≧y。等号は　x^2＝16-x^2　、つまり、x＝2√2　の時。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

解くことができました。

お礼日時：2009/07/18 19:20