レポートなので、手順や計算方法も記載いただけると非常に助かります。
慶應義塾大学の数学(代数学)の問題です。
レポートなので、手順や計算方法も記載いただけると非常に助かります。
・微分方程式
・差分方程式
・Fibonacci型差分方程式
上記それぞれの特性解について大問が構成されています。
周りと協力して解いてみましたが、全く歯が立たないので、
こちらで質問させていただくことにしました。
表記が複雑なので、問題用紙をスキャンし添付致しました。
下記は問題の一部です。
(1)微分方程式 U^(2)+U=(D^(2)+I)U=0 …(*) について
(1)特性解がα1=i,α2=-iになることを示せ
(2)V(αk)=kn(D-αki)^(hi)とするときV(αk)の基と次元をそれぞれ求めよ
(3)U=(1/2)(C0-iC1)e^(it)+(1/2)(C0+iC1)e^(-it)で与えられることを示せ
さらにEulerの公式 e^(±it) = cos t + i sin t を用いると上式は
U=C0 cos t + C1 i sin t で表されることを示せ
このような大問が7つございます。
7/21(火)の正午が提出期限です。
宜しくお願い申し上げます。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
すばらしい質問です!! ミレニアム懸賞問題をしのぐ今世紀最大、いや数学史上最大の難問です。
「レポート課題を質問するのは規約違反」とどこかにあったような気がしますが、そんな寝言は忘れて是非この問題を解決してフィールズ賞を目指してください。(2) について
(1)x^3 + x^2 - x -1=(x-1)(x +1)^2=0の解はα1=1,α2=-1
(2)V(α1)の基は exp(t)で次元は1
V(α2)の基は exp(-t)とt・exp(-t)で次元は2
(3)U(t) = A1 exp(t) + A2 exp(-t) + A3 t・exp(-t) とおく
U(0)=A1 + A2 = C0
U'(0)=A1 - A2 + A3 = C1
U''(0)=A1 + A2 - 2A3 = C2
を解くと
A1 = (1/4)C0 + (1/2)C1 + (1/4)C2
A2 = (3/4)C0 - (1/2)C1 - (1/4)C2
A3 = (1/2)C0 - (1/2)C2
となって問題にある解答と一致しなくなりました。しかし解答は絶対真理です。理論計算で決して絶対真理が得られないことは永遠の謎です。これを解明して是非フィールズ賞を獲って下さい。(「解答が間違っているだけじゃねーかよ。」などと言わないように)
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