粘性率がある斜面上の小球の運動

図のように球が抵抗を受けながら斜面を転がるときの　最終到達速度がv(∞)＝mgsinθ/6πηr　(質量m[kg],粘性率η[Ns/m2],球の半径r[m])と表せるとき、小球の速度が最終到達速度の99.99％になるときの時間tがｔ＝0.4886m/ηr[秒]になると書いてあるのですがtの証明がわかりません。どなたかわかる人がいましたらご教授ください。　よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/09/30 01:04

この物体の運動方程式はｄｖ／ｄｔ＝ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ

変数分離して１／（ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ）ｄｖ＝ｄｔ
積分してｔ＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ）＋ｃ
ｇｓｉｎθ＝λｖ（∞）／ｍなので
ｔ＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（λ（ｖ（∞）－ｖ）／ｍ）＋ｃ
ここでｖ＝ゼロであるときとｖ＝０．９９９９ｖ（∞）である時の時間の差を求めると
－ｍ／λ・（ｌｏｇ（λ＊１０＾－４＊ｖ（∞）／ｍ）－ｌｏｇ（λ＊ｖ（∞）／ｍ））＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（１０＾－４）
　　　　　≒９．２１ｍ／（６πηr）
　　　　　≒０．４８８６ｍ／ηr

この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございます！

お礼日時：2009/09/30 21:47