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6×4の行列の逆行列を計算しようとしたのですが,求め方がわからず困っています。以下に教えていただきたい逆行列を示します。

[-a2 a1 0 0]
[-a3 0 a1 0]
[-a4 0 0 a1]
[ 0 -a3 a2 0]
[ 0 -a4 0 a2]
[ 0 0 -a4 a3]

この行列のランクをmaximaを使って計算すると「3」だったのでランク落ちしていることがわかりました。
教科書で確認したところ、ランク落ちの行列には逆行列が存在しないと書いてあったので逆行列を作ることができないのでしょうか?
もしくは、ランク落ちを回避して逆行列を作ることができないのでしょうか?

A 回答 (4件)

1列目を4列目に変えた行列


[ a1  0  0 -a2]
[ 0 a1  0 -a3]
[ 0  0 a1 -a4]
[-a3 a2  0  0]
[-a4  0 a2  0]
[ 0 -a4 a3  0]
で説明します。
まず、Aを3×3行列とし、B,C,Dを適切な次元を持つとして、上の行列を
[A B]
[C D]
と分割します。
X,Y,Zを適切な次元の任意の行列、A^-1をAの逆行列とすると、
[A^-1 - XCA^-1 - A^-1BY - A^-1BZCA^-1 X]
[Y                  Z]
が一般逆行列となります。
求めたい一般逆行列は上の一般逆行列の行を入れ替えたものになります。

参考
統計のための行列代数の上巻(D.A.ハーヴィル著)のp.131
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この回答へのお礼

教えていただいてありがとうございました。m(__)m

お礼日時:2009/11/15 23:16

一般逆行列と逆行列の違いを調べましょう。


それを理解した上での質問とは思えませんので、あしからず。
その際には一般逆行列の種類も調べましょう。参考までに、固有値を勉強すると手がかりになると思います。困り度からすると、急いでいるようですが、時間をかけたほうが...と、つい思ってしまいました。
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この回答へのお礼

そうですね。かなり複雑な問題みたいなので時間をかけて,解決していきたいと思います。

お礼日時:2009/11/15 23:22

一般化逆行列にはいくつかあります.


ランク落ちを回避して逆行列を作る方法として,
ムーア・ペンローズの一般化逆行列があります.

説明を書くと長くなるし,私も詳しくないので
どこかを写すことしかできません.
そこで,グーグルで「ムーア・ペンローズの一般化逆行列」を
検索してみてください.
解法が出ていると思います.

この回答への補足

ムーアペンローズの一般逆行列を求めようと考えたのですが、ランクが6もしくは4の場合、公式が使えるみたいで今回のような場合はどうすればいいのかがわからない状況です。

補足日時:2009/11/09 15:56
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逆行列の定義が


「 正方行列 Aに対して AX=XA=E  を満たす正方行列Xを Aの逆行列という.」

であり,逆行列を考えられるのは,
行列式≠0 の 正方行列 なのであります.

6×4の行列は正方行列でないので逆行列はありません.
行列式も正方行列に対して定義されていますよね.

この回答への補足

ネットで調べてみたのですが、正方行列でなくても一般逆行列を求めることができるみたいです。

補足日時:2009/11/09 15:54
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