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曲線群y^2=cxの各曲線に直交する曲線群Cの微分方程式とはどんな状態を想像したらよいか分かりません。
どなかた詳しい方教えてください。

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A 回答 (2件)

グラフ上の点(x,y)において接線が直交すること。


計算としては
y’を求めて
Y '=1/(-y') となる式を作る。

与えられた式を微分すると
2yy’=c
y’=c/(2y)
だから
Y '=-2y/c
大文字、小文字はグラフを区別するために変えただけで
微分方程式としては

y’=-2y/c でいいと思います。

この回答への補足

よく分かってないもので間違ったこと言ってたら、申し訳ないんですがこの問題はこの微分方程式を解けと続いてまして、その答えが2x^2+y^2=cなんですけどよく分からないです。

補足日時:2003/05/14 21:55
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前の回答でまずいところがありました。

お詫びします。

前回の続きです。
Cはx、yで決まってしまいます。
C=y^2/x
として
y’=-2y/c に代入してCを消しておかなければいけませんでした。

そうすると
y’=-2x/y
yy’=-2x
積分して
(1/2)y^2=-x^2+C(このCは前のとは関係の無い積分定数)

x^2+(1/2)y^2=C
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この回答へのお礼

すいません、結局最後まで教えてもらうことになって。おかげさまで分かりました。
楕円の式になるとゆうのはグラフで考えてもなっとくでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2003/05/15 21:37

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微分方程式をといて、曲線族を書くという問題が手元にあるのですが、(宿題ではありません)
方程式が解けても曲線族がかけません。

y=exp(-ax+C)
ならまだ書けるのですが、

1.(y-2x)^2(y+x)=C
2.(y-x)^3=C(y+x)
3.y^2-xy+x^2=C

(Cは積分定数)
とかさっぱりです。

他にもあるので、他のが自力で書けるように詳しい説明お願いします。

Aベストアンサー

陰関数のプロットですね。
Cをパラメータにしてxを一定の刻みで値を与えて、その時のyをニュートン法で求めて表を作り点(x,y)をプロットし滑らかな曲線で結べば曲線群が描けます。
計算機のプログラムやMatlab、Mathematica,Mapleなどで描けば簡単ですが、手計算ではかなり手間がかかるでしょう。

陰関数をプロットできるグラフィックソフトを使えば比較的簡単に曲線群をプロットできます。たとえば参照URLのGRAPESの陰関数プロット機能と残像機能を使えばいいでしょう。

GRAPESを使って1だけ
曲線群をCをパラメータC=-100,-32,-16,-8,-2(ここまで赤線),0(黒線),2,8,16,32,100(灰色)としてプロットして見ました。

同様にできますので2,3はやってみて下さい。
同様の他の曲線群も描けますのでGRAPES(無料ソフト)をダウンロードしてインストールして使って見てください。使いこなせば重宝しますよ。

参考URL:http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/index.html

陰関数のプロットですね。
Cをパラメータにしてxを一定の刻みで値を与えて、その時のyをニュートン法で求めて表を作り点(x,y)をプロットし滑らかな曲線で結べば曲線群が描けます。
計算機のプログラムやMatlab、Mathematica,Mapleなどで描けば簡単ですが、手計算ではかなり手間がかかるでしょう。

陰関数をプロットできるグラフィックソフトを使えば比較的簡単に曲線群をプロットできます。たとえば参照URLのGRAPESの陰関数プロット機能と残像機能を使えばいいでしょう。

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