数学の位相の問題が分かりません。詳しい方、教えてください。

数学の位相の問題が分かりません。詳しい方、教えてください。

ハウスドルフ空間において、一点だけからなる集合は閉集合となることを示せ。

No.6 ベストアンサー 回答者： Caper 回答日時： 2009/12/19 05:30

● 下記の Web ページ によりますと、「 閉包 」についての知識を freedomdn さん はすでにお持ちなのかもしれませんね。

　 http://okwave.jp/qa5476166.html

　「 閉包 」という語を用いてもよいのでしたら、次のような証明のしかたもあろうかと、私は思います。

● 任意に選んだ 1つ の Hausdorff 空間 において、任意に選んだ 1つ の点を x と表わすことにします。
　「 {x} が閉集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示せばよいと、私は思います。
　「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』から任意に選んだ 1つ の点 y が『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) に含まれる (*) 」ということを示せばよいと、私は思います。

(*) これとともに、「『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) から任意に選んだ 1つ の点が『 {x} の補集合』に含まれる 」ということも示す必要がありましょう。ですが、それは 内部 ( もしくは、開核 ) の定義より明らかなことであると、私は思いました。よって、それを示すことを私は省きました。

● x と y は同じ Hausdorff 空間 上の点です。そして、y は「 {x} の補集合 」から任意に選んだ 1つ の点ですから、y は x と異なる点です。ゆえに、y を含むけれども x を含まない開集合が存在します。その開集合を V と表わすことにします。
　 ゆえに、{x} は 開集合 V に含まれません。すなわち、{x} は「 V の補集合 」に含まれます。

　 {x} ⊆ (V の補集合)

　 ところで、V は開集合ですから、「 V の補集合 」は閉集合になります。そして、閉包 ( もしくは 触集合 ) の定義により、「 {x} の閉包 」は「 V の補集合 」に含まれます。

　 ({x} の閉包) ⊆ (V の補集合)

　 ゆえに、y は「 {x} の閉包 」に含まれることはありません。換言すれば、y は「『 {x} の閉包 』の補集合 」に含まれます。内部 ( もしくは 開核 ) と 閉包 ( もしくは 触集合 ) にかかわる定理により、「『 {x} の閉包 』の補集合 」は「『 {x} の補集合 』の内部 」と同じです。
　 ゆえに、y は「『 {x} の補集合 』の内部 」に含まれます。

● ( 繰り返しになりますが … 、) もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

No.5 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/12/18 22:48

質問者からの補足からは、近傍とか、内部とか、そういったものはすべて派生的な概念であると読み取れます。

ANo.2 氏の方針がもっとも単純かつ明瞭だと思われます。
またその証明からハウスドルフ空間であることは条件として「強すぎる」ことも明らかです。

No.4 回答者： Caper 回答日時： 2009/12/18 12:14

●「 近傍 」という概念を用いないで、Hausdorff 空間 が定義されているのですね。

でしたら、証明は次のようになるのではないでしょうか。

● 任意に選んだ 1つ の Hausdorff 空間 において、任意に選んだ 1つ の点を x と表わすことにします。
　「 {x} が閉集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示せばよいと、私は思います。
　「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』から任意に選んだ 1つ の点 y が『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) に含まれる (*) 」ということを示せばよいと、私は思います。

(*) これとともに、「『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) から任意に選んだ 1つ の点が『 {x} の補集合』に含まれる 」ということも示す必要がありましょう。ですが、それは 内部 ( もしくは、開核 ) の定義より明らかなことであると、私は思いました。よって、それを示すことを私は省きました。

● x と y は同じ Hausdorff 空間 上の点です。そして、y は「 {x} の補集合 」から任意に選んだ 1つ の点ですから、y は x と異なる点です。ゆえに、y を含むけれども x を含まない開集合が存在します。その開集合を V と表わすことにします。
　 ゆえに、{x} は 開集合 V に含まれません。すなわち、{x} は「 V の補集合 」に含まれます。

　 {x} ⊆ (V の補集合)

　 これと、補集合にかかわる定理により、「 {x} の補集合 」は「『 V の補集合 』の補集合 」を含むことになります。なお、「『 V の補集合 』の補集合 」は V と同じです。

　 ({x} の補集合) ⊇ V

　 これと、内部 ( もしくは、開核 ) の定義およびそれにかかわる定理により、「『 {x} の補集合 』の内部 」は「 V の内部 」を含みます。

　 (({x} の補集合) の内部) ⊇ (V の内部)

　 さらに、V は開集合ですから、内部 ( もしくは、開核 ) の定義およびそれにかかわる定理により、「 V の内部 」と V は同じになります。ゆえに、「『 {x} の補集合 』の内部 」は V を含みます。

　 (({x} の補集合) の内部) ⊇ V

　 y は V に含まれます。ゆえに、y は「『 {x} の補集合 』の内部 」に含まれます。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

No.3 回答者： Caper 回答日時： 2009/12/17 12:31

● 任意に選んだ 1つ の Hausdorff 空間 において、任意に選んだ 1つ の点を x と表わすことにします。

　「 {x} が閉集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示せばよいと、私は思います。
　「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』から任意に選んだ 1つ の点 y が『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) に含まれる (*) 」ということを示せばよいと、私は思います。

(*) これとともに、「『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) から任意に選んだ 1つ の点が『 {x} の補集合 』に含まれる 」ということも示す必要がありましょう。ですが、それは 内部 ( もしくは、開核 ) の定義より明らかなことであると、私は思いました。よって、それを示すことを私は省きました。

● x と y は同じ Hausdorff 空間 上の点です。そして、y は「 {x} の補集合 」から任意に選んだ 1つ の点ですから、y は x と異なる点です。ゆえに、x を含まない y の近傍が存在します。その近傍を V と表わすことにします。
　 ゆえに、{x} は 近傍 V という集合に含まれません。すなわち、{x} は「 V の補集合 」に含まれます。

　 {x} ⊆ (V の補集合)

　 これと、補集合にかかわる定理により、「 {x} の補集合 」は「『 V の補集合 』の補集合 」を含むことになります。なお、「『 V の補集合 』の補集合 」は V と同じです。

　 ({x} の補集合) ⊇ V

　 これと、内部 ( もしくは、開核 ) の定義およびそれにかかわる定理により、「『 {x} の補集合 』の内部 」は「 V の内部 」を含みます。

　 (({x} の補集合) の内部) ⊇ (V の内部)

　 ところで、V は y の近傍 ですから、y は「 V の内部 」に含まれます。ゆえに、y は「『 {x} の補集合 』の内部 」に含まれます。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/12/15 22:02

その一点以外のすべての点の十分小さい開近傍をとって

すべての和集合をとるとどーなる？

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/12/15 21:47

ハウスドルフ空間と閉集合の定義を補足にどうぞ

この回答への補足

Ｘを位相空間とする.Ｘ上の任意の異なる２点x,y∈Ｘに対し、二つの開集合Ｕ,Ｖで
x∈Ｕ, y∈Ｖ かつ Ｕ∩Ｖ＝φ
となるものが存在するとき、Ｘをハウスドルフ空間という.


位相空間Ｘの部分集合Ｆは、その補集合Ｘ－Ｆが開集合となるとき、閉集合という.

補足日時：2009/12/18 09:54