土曜の昼、学校帰りの昼メシの思い出

【問題】
楕円(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1上に2点P,QをOP⊥OQとなるようにとる。1/(OP)^2+1(OQ)^2は一定であることを示せ。

【自分の考え…】
(PQ)^2が一定ということを示せばいいのかと思ったのですが…。たぶん違います^^;


どなたかよろしくお願いします。

A 回答 (5件)

この手の問題は、「何を変数に置こうか」と悩んでしまうかもしれません。


困った時は、「とりあえず置いてしまいましょう。」
置いてしまった分だけ、その変数に関係式がでてくることになります。

P(p1, p2)、Q(q1, q2)とおけば、
・楕円上の点であることから、条件が 2つ
・問題文にある OP⊥OQから、条件が 1つ

あとは、1/(OP^2)+ 1/(OQ^2)(←で合ってますよね?)も表して、関係式を適用してみます。
「一定」ということは、「p1などには依存しない」ということを示せばよいです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました('▽'*)ニパッ♪

お礼日時:2009/12/29 13:39

#1(#3)です。



まず、極座標系式についてですが
OA↑= (a* cosθ, b* sinθ)に対して、
OB↑= (a* cos(θ+π/2), b* sin(θ+π/2))= (-a* sinθ, b* cosθ)ととると

OA↑・OB↑= (-a^2+ b^2)* sinθ* cosθ

となり、内積が 0になりません。


地道に計算しましょう。
OP= (p1, p2), OQ= (q1, q2)とすると、p1* q1= -p2* q2(直交条件より)
この式と楕円上の点であるという式から

・q2^2= (p1^2/p2^2)* q1^2

・p2^2/q1^2= p1^2/b^2+ p2^2/a^2

を導き、問題の式に適用すると (与式)= 1/a^2+ 1/b^2と一定になることが導かれます。

計算過程は分数の計算がややこしくなるので、必要であれば補足してください。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/23 22:25

こんなのは、極座標を使うと簡単に行く。



x=r*cosθ、y=r*sinθとすると(r>0、0≦θ<2π)、楕円(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1に代入すると、(r)^2=(ab)^2/(b^2*cos^2θ+a^2*sin^2θ)‥‥(1)
OP⊥OQ から、θ → θ+π/2 であるから、cos(θ+π/2)=-sinθ、sin(θ+π/2)=cosθ。
よって、(1)から (r´)^2=(ab)^2/(b^2*sin^2θ+a^2*cos^2θ)‥‥(2)
以上、(1)と(2)から、1/(OP)^2+1(OQ)^2=1/(r)^2+1/(r´)^2=(1/a)^2+(1/b)^2 =一定
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/23 22:26

#1です。



#2さんの回答について、コメントさせてください。
楕円の媒介変数表示(パラメータ表示)ですが、注意が必要だと認識しています。

添付の図にもあるとおり、「角度」θは実際に x軸となしている角とは異なります。
円周を x軸方向へ(上からも下からも)b/aに圧縮した形となります。
ですので、θとθ+ π/2の 2点をとっても、実際になす角はπ/2にはならなくなります。
「楕円の問題です^^」の回答画像3
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2011/07/23 22:27

 OP、OQがx軸となす角はθ、およびθ+π/2とおくことができ、P,Qの座標は(acosθ、bsinθ)、(acos(θ+π/2)、bsin(θ+π/2)=(-asinθ、bcosθ)と表わされます(順不同)。


 これらを1/(OP)^2+1/(OQ)^2に代入すると一定であることが示せると思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2011/07/23 22:27

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