楕円の問題です＾＾

【問題】
楕円(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1上に2点P,QをOP⊥OQとなるようにとる。1/(OP)^2+1(OQ)^2は一定であることを示せ。

【自分の考え…】
(PQ)^2が一定ということを示せばいいのかと思ったのですが…。たぶん違います^^;


どなたかよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/12/20 16:14

この手の問題は、「何を変数に置こうか」と悩んでしまうかもしれません。

困った時は、「とりあえず置いてしまいましょう。」
置いてしまった分だけ、その変数に関係式がでてくることになります。

Ｐ(p1, p2)、Ｑ(q1, q2)とおけば、
・楕円上の点であることから、条件が 2つ
・問題文にある OP⊥OQから、条件が 1つ

あとは、1/(OP^2)+ 1/(OQ^2)（←で合ってますよね？）も表して、関係式を適用してみます。
「一定」ということは、「p1などには依存しない」ということを示せばよいです。

この回答へのお礼

ありがとうございました('▽'*)ﾆﾊﾟｯ♪

お礼日時：2009/12/29 13:39

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/12/21 17:58

#1(#3)です。

まず、極座標系式についてですが
OA↑= (a* cosθ, b* sinθ)に対して、
OB↑= (a* cos(θ+π/2), b* sin(θ+π/2))= (-a* sinθ, b* cosθ)ととると

OA↑・OB↑= (-a^2+ b^2)* sinθ* cosθ

となり、内積が 0になりません。


地道に計算しましょう。
OP= (p1, p2), OQ= (q1, q2)とすると、p1* q1= -p2* q2（直交条件より）
この式と楕円上の点であるという式から

・q2^2= (p1^2/p2^2)* q1^2

・p2^2/q1^2= p1^2/b^2+ p2^2/a^2

を導き、問題の式に適用すると (与式)= 1/a^2+ 1/b^2と一定になることが導かれます。

計算過程は分数の計算がややこしくなるので、必要であれば補足してください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2011/07/23 22:25

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/12/21 13:17

こんなのは、極座標を使うと簡単に行く。

x＝r*cosθ、y＝r*sinθとすると（r＞0、0≦θ＜2π）、楕円(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)＝1に代入すると、（r）＾2＝（ab）＾2/（b＾2*cos＾2θ＋a＾2*sin＾2θ）‥‥(1)
OP⊥OQ　から、θ　→　θ＋π/2　であるから、cos（θ＋π/2）＝-sinθ、sin（θ＋π/2）＝cosθ。
よって、(1)から　（r´）＾2＝（ab）＾2/（b＾2*sin＾2θ＋a＾2*cos＾2θ）‥‥(2)
以上、(1)と(2)から、1/(OP)^2+1(OQ)^2＝1/（r）＾2＋1/（r´）＾2＝（1/a）＾2＋（1/b）＾2　＝一定

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2011/07/23 22:26

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/12/21 11:19

#1です。

#2さんの回答について、コメントさせてください。
楕円の媒介変数表示（パラメータ表示）ですが、注意が必要だと認識しています。

添付の図にもあるとおり、「角度」θは実際に x軸となしている角とは異なります。
円周を x軸方向へ（上からも下からも）b/aに圧縮した形となります。
ですので、θとθ+ π/2の 2点をとっても、実際になす角はπ/2にはならなくなります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2011/07/23 22:27

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/12/20 19:33

　ＯＰ、ＯＱがｘ軸となす角はθ、およびθ＋π／２とおくことができ、Ｐ，Ｑの座標は（ａｃｏｓθ、ｂｓｉｎθ）、（ａｃｏｓ（θ＋π／２）、ｂｓｉｎ（θ＋π／２）＝（－ａｓｉｎθ、ｂｃｏｓθ）と表わされます（順不同）。

　これらを１／（ＯＰ）＾２＋１／（ＯＱ）＾２に代入すると一定であることが示せると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2011/07/23 22:27