関数の軌跡の長さを求める方法を教えてください。

関数の軌跡の長さを求める方法を教えてください。
高校数学の積分で関数の軌跡の長さを求める方法を習った覚えがありますが、どうやるのかを忘れてしまいました。
やりたいのは、
楕円の１周の長さの算出
サインカーブの１周期の軌跡の長さ。
指数関数・ベキ関数の任意の点から任意の点の間の軌跡の長さ。
です。

No.2 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2009/12/24 12:55

　厳密な話をすると無茶苦茶面倒なので、ざっくりした話で行きます。

　基本的な発想は、関数の折れ線近似です。関数を等間隔dxで折れ線近似したとすれば、関数の軌跡の長さは、各折れ線の傾きと間隔dxから計算した折れ線長を、全て足したもので近似できます。
　次にdxが0の極限を考えます。このとき折れ線の傾きは、接線の傾きに等しいとみなせます。dxが0の極限なので、折れ線長を全て足したものは、関数の軌跡の長さでしょう。x方向にdx進んだ時に、y方向に点はdf/dx・dx進むので、（無限小の）折れ線長は、

　　(dx^2＋(df/dx・dx)^2)^(1/2)＝(1＋(df/dx)^2)^(1/2)・dx

です。これを、長さが欲しいxの範囲で足せば良いのだから、積分を使って、

　　∫(1＋(df/dx)^2)^(1/2)・dx

とやります（積分範囲は、長さが欲しいxの範囲）。
　ただしサインカーブを除き、楕円，指数関数，（高次の）ベキ関数の積分は、ふつうの関数では表せないと思います。こういうとき役立つのが、岩波の数学公式集です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/12/24 12:52

y = f(x) の「長さ」を求めるだけなら

√(dx^2 + dy^2) = [√(1 + (dy/dx)^2)] dx
を適当な範囲で積分すればいい.
ただし「きちんと求まる」かどうかは別の話.