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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
厳密な話をすると無茶苦茶面倒なので、ざっくりした話で行きます。
基本的な発想は、関数の折れ線近似です。関数を等間隔dxで折れ線近似したとすれば、関数の軌跡の長さは、各折れ線の傾きと間隔dxから計算した折れ線長を、全て足したもので近似できます。
次にdxが0の極限を考えます。このとき折れ線の傾きは、接線の傾きに等しいとみなせます。dxが0の極限なので、折れ線長を全て足したものは、関数の軌跡の長さでしょう。x方向にdx進んだ時に、y方向に点はdf/dx・dx進むので、(無限小の)折れ線長は、
(dx^2+(df/dx・dx)^2)^(1/2)=(1+(df/dx)^2)^(1/2)・dx
です。これを、長さが欲しいxの範囲で足せば良いのだから、積分を使って、
∫(1+(df/dx)^2)^(1/2)・dx
とやります(積分範囲は、長さが欲しいxの範囲)。
ただしサインカーブを除き、楕円,指数関数,(高次の)ベキ関数の積分は、ふつうの関数では表せないと思います。こういうとき役立つのが、岩波の数学公式集です。
No.1
- 回答日時:
y = f(x) の「長さ」を求めるだけなら
√(dx^2 + dy^2) = [√(1 + (dy/dx)^2)] dx
を適当な範囲で積分すればいい.
ただし「きちんと求まる」かどうかは別の話.
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