対称点

三角形ＡＢＣ内に１点Ｐがあり、Ｐの辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢに関する対称点をそれぞれＡ１、Ｂ１、Ｃ１とするという問題がありました。
対称点の定義を教えて下さい

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/02/02 22:30

例えばＰとＡ１、及び辺ＢＣの関係でいえば、

　（１）ＰＡ１とＢＣは直交する
　（２）ＰとＢＣの距離＝Ａ１とＢＣの距離
この二つを満たす時ＰとＡ１はＢＣに関して対称です。

この回答への補足

すいません。具体例ではなく定義ってないですか？？

補足日時：2010/02/02 22:53

No.2 ベストアンサー 回答者： felicior 回答日時： 2010/02/04 00:42

「対称点」とは「対称変換によって移る点」という意味です。

対称変換とは簡単に言うと、図形（点の集合）をその形を変えずに
（つまり合同なまま）移動させることです。

一口に対称変換といってもいろいろありますが、平面上においては
「点○に関して対称」と言われたら１８０度回転移動、
「直線○○に関して対称」と言われたら鏡映移動（単に対称移動とも言う）
のことです。一応、これらは中学で「図形の移動」として習います。

ご質問のケースでは辺に関してと言っているので鏡映移動です。
「点Ｐを直線ＡＢに関して鏡映移動した点Ｐ'」は
「直線ＡＢが線分ＰＰ'の垂直二等分線となるような点Ｐ'（点Ｐが直線ＡＢ上の点ならばＰ'＝Ｐ）」
として一意に定義されます。これは具体例ではありません。
他にもベクトルと行列を使っても等価な定義ができます。

ちなみに蛇足ですが、ある対称変換を施す前後で見た目が変わらない
図形のことを、対称な図形と言います。例えば、ある直線に関して鏡映
移動しても変わらないものは線対称であると言います。