微分積分（重心、微分方程式）の解き方について

質問を、失礼します。
試験勉強で問題を解いていますが、以下の問題の解き方が分かりません。アドバイスでも良いので、教えていただければありがたいです。
　
（１）重心
　
曲線　√(X)+√(Y)=1 と、Ｘ軸、Ｙ軸とで囲まれる図形の重心をもとめよ。（答え：　( (1/5),(1/5) )　）

私は　Ｘ＝Ｙ,　Y=(1-X)^2　として計算しましたが答えを導くことができませんでした。
　
　　

（２）微分方程式
　
微分方程式　(1-X^2)y′′-2XY′+12Y =0 の解で、初期条件「X=0のとき　Y=0 ,Y′＝-(3/2)　」を満たす解を求めよ。（答え：Y=-(3/2)X+(5/2)X ）
　
私は、べき級数を用いて、係数を決めて解こうとしましたが、答えを導くことが、できませんでした。
　
　
以上です。よろしくお願いします。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/10 21:58

(1)

S=∫[0,1] {1-x^(1/2)}^2 dx=∫[0,1] {1+x-2x^(1/2)} dx
=[x+(1/2)(x^2)-(4/3)x^(3/2)][0,1]
=1/6
M1=∫[0,1] x{1-x^(1/2)}^2 dx=∫[0,1] {x+x^2-2x^(3/2)}dx
= ...積分すると... =1/30
g=M1/S=1/5
重心G(g,g)=(1/5,1/5)

(2)
>（答え：Y=-(3/2)X+(5/2)X ）
間違い。
正解は「y=-(3/2)x+(5/2)x^3」
ヒント）
y=ax^3+bx^2+cx+dとおいて、
y',y''を計算し微分方程式に代入して、出てきた式を恒等式とみなして
すべてのxの次数の係数=0からa,b,c,dを求めると、
b=d=0,a=5/2,c=-(3/2)が求まる。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/06 02:02

#1です。

A#1の補足について

>まず、分母の図形の面積は長さ２の正方形から半径１の円の面積を引いて４で割り、
>（4―π）/4　＝分母
滅茶苦茶ですね。
曲線は円ではありませんので(1/4)円の面積を使ってはいけません。
（放物線の一部を45°回転した曲線なので）
難しい積分でないのでチャンと積分を使って面積を出してください。
チャンと積分でだせば面積は「1/6」になります。

分母もぜんぜんだめ
チャンと重心の積分公式を教科書、参考書、或いはネット検索すれば、書いてありますから、自己流の式を書かないで、定義の公式を補足に書いて下さい。

一次モーメントが分母になりますので、x軸方向、y軸方向の一次モーメントを計算すれば良いですが重心の座標がG(g,g)とX,Y座標が等しいので片方のモーメントを計算すれば充分です。

積分を正しくすれば、一次モーメント(たとえばX軸方向のもの)を計算すると「1/30」となって、g=(1/30)/(1/6)=1/5　と重心のX座標が得られます。（y座標も対称性から同じになり）G(1/5,1/5)が導出できます。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/05 22:47

とりあえず(1)だけ

(1)重心の定義式はお分かりですか？
それが分からないと計算できませんよ。
分かるなら積分の式を使って、補足にお書きください。
対称性から重心はy=x上にあることから、重心の座標をG(g,g)とでもして式を立ててください。
自力で分かる所まではやって補足に書いて、行き詰っ所を質問して下さい。

>（答え：　( (1/5),(1/5) ) ）
これで正解です。

この回答への補足

info22_さん　ありがとうございます。

重心の定義式は分かりますが、なぜ、その式が定義できるのかは分かりません。（学校の先生も理解できないそうなので詳しいことは分かりません）

まず、分母の図形の面積は長さ２の正方形から半径１の円の面積を引いて４で割り、
（4―π）/4　＝分母
と考えました。

分子は、Ｘ＝Ｙより片方の重心座標を求めればよいので、Ｙ求めてみようと考え、曲座標変換を行い、
∫の範囲の入力方法が分からないので範囲で示します。

∬D Ydxdy=∫（範囲０～（π/2））｛∫（範囲０～1）（1-rcosθ）＾２*r　dr｝dθ
=∫（範囲０～（π/2））[(1/2)r^2-(2/3)r^3sinθ+(1/3)r^3sinθ^2](範囲０～１）

=∫（範囲０～（π/2））( (1/2)-(2/3)sinθ+(1/3)sinθ^2) dθ

=(1/2)+1＝分子

よって、分子/分母　を計算しても、1-（π/4）となりました。
積分する値と、範囲が正しいのかが判断できません。

補足日時：2010/02/05 23:56

この回答へのお礼

info22_さん、回答をしていただきありがとうございます。
補足に私の計算を書きましたので、お時間があれば見て下さい。

お礼日時：2010/02/06 00:44