期待値（標準）問題のはず・・・・・・

箱の中に12本のくじが入っている。このうち当たりくじは６本で、Ａ賞が2本
Ｂ賞が４本、残りの６本ははずれである。当たりくじには、Ａ賞に６点、Ｂ賞に３点が与えられる。はずれの場合は０点である。この箱からくじを一本ずつ続けて３回引く。ただし引いたくじは元に戻さない。
期待値を求めよ。


ぜんぜん分かりません
助けてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： w0col 回答日時： 2010/02/07 18:07

くじを戻さないというのがめんどくさく難しくしていますね。

まず、点数として
0､3､6､9､12､15
が考えられます。
これをそれぞれ場合わけして考えていくのではないでしょうか？

0の場合
3連続ﾊｽﾞﾚなので
6/12*5/11*4/10=1/11

3の場合
1度だけBを引くので
4/12*6/11*5/10*3=3/11

6の場合
Aを一回か、Bを二回引くので
前者
2/12*6/11*5/10*3=3/22
後者
4/12*3/11*6/10*3=9/55
足して 33/110

9の場合
Aを１回Bを１回か､3連続Bを引けばいいので
前者
2/12*4/11*6/10*6=12/55
後者
4/12*3/11*2/10=1/55
足して 13/55

12の場合
Aを２回か､Aを１回Bを２回引くので
前者
2/12*1/11*6/10*3=3/110
後者
2/12*4/11*3/10*3=3/55
足して9/110

15の場合
Aを２回Bを１回引くので
2/12*1/11*4/10*3=1/55

ちなみに、左辺の最後に掛けてある整数はそれが何通りあるか、です。

よって求めるものは期待値なので
0*1/11+3*3/11+6*33/110+9*13/55+12*9/110+15*1/55=9/11+198/110+117/55+108/110+15/55=660/110=6

ではないでしょうか？

この回答へのお礼

なるほど・・・・・
独立な試行・・・・

理解できました！！
ありがとうございました！

お礼日時：2010/02/07 18:41

No.6 回答者： LightOKOK 回答日時： 2010/02/07 18:22

#2です。

C賞が３回、９点を落としてしまいました。
9×(4C3)/12C3=1/330
を加えてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2010/02/07 20:35

No.5 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/02/07 18:22

送ってみたら既に解答が2つも。

・・・やはり力づくの方法でしたか。
教育的配慮(?)で全ての過程を示すことは避けましたが、既に出ているので無意味でしたね。

計算過程も添付しておきます。

この回答へのお礼

図を使って説明していただいたのでと大変分かりやすかったです！
ありがとうございました！

お礼日時：2010/02/07 20:34

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/07 18:19

ハズレを X と書く。

クジの出かたは、出る順番を考えなければ、
XXX, XXB, XXA, XBB, XBA, XAA, BBB, BBA, BAA
がある。
それぞれのバターンが、何点で、確率どれだけか
を求めて、それらを掛けて足せば
期待値になる。

例えば、BBA バターンが出る確率は、
3(6C0)(4C2)(2C1)/(12C3)。
4 個の nCk の意味は解ると思うが、
先頭の 3 は、引いた 3 枚の出た順番
ABB, BAB, BBA を表している。

同様に、やってみ。

この回答へのお礼

分かりました！
ありがとうございます！

お礼日時：2010/02/07 20:33

No.3 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/02/07 18:15

全ての場合について数え上げればいいのでは？

エレガントさには欠けますが、この程度なら可能でしょう。

C(A, B, はずれ)、P(A, B, はずれ)を引いたくじの本数に対応する場合の数と点数とします。

C(2,1,0) = 2C2・4C1 = 4, P(2,1,0) = 6*2 + 3*1 = 15
C(2,0,1) = 2C2・6C1 = 6, P(2,0,1) = 6*2 = 12
C(1,2,0) = 2C1・4C2 = 12, P(1,2,0) = 6*1 + 3*2 = 12
・・・

こうして全ての可能性について数え上げて、

(C(2,1,0)*P(2,1,0) + C(2,0,1)*P(2,0,1) + ・・・) / 12C3

を計算すれば点数の期待値が求まります。(答えは 6)
分母の12C3はくじの引き方の総数です。

きちんと全ての場合を網羅していれば、
C(2,1,0) + C(2,0,1) + ・・・ = 12C3
となるので、検算に使えます。

この回答へのお礼

わざわざすいませんでした！！
マコトに参考になりました！

お礼日時：2010/02/07 20:33

No.2 回答者： LightOKOK 回答日時： 2010/02/07 18:14

はずれをC賞とすると

３回の試行の結果、出方は
(1)A賞が２回、B賞が１回
(2)A賞が２回、C賞が１回
(3)A賞が１回、B賞が１回、C賞が１回
(4)B賞が２回、C賞が１回
(5)A賞が１回、C賞が２回
(6)B賞が１回、C賞が２回
(7)C賞が３回
で、
得点は
(1)が１５点
(2)が１２点
(3)が９点
(4)、(5)が６点
(6)が３点
(7)が０点

得点が１５点の確率は、p1={(2C2)×(4C1)}/12C3=1/55
得点が１２点の確率は、p1={(2C2)×(6C1)}/12C3=3/110
得点が９点の確率は、p1={(2C1)×(4C1)×(6C1)}/12C3=12/55
得点が６点の確率は、p1={(2C1)×(6C2)+(4C2)×(6C1)}/12C3=24/55
得点が３点の確率は、p1={(4C1)×(6C2)}/12C3=3/11
得点が０点の確率は、p1=(6C3)/12C3=1/11

なので、期待値Eは、
E=15×1/55+12×3/110+9×12/55+6×24/55+3×3/11
=6
計算はミスがあるかもしれません。^^;
自分で確認してください。

この回答へのお礼

あっ解けた！！！
ありがとうございました

お礼日時：2010/02/07 20:32