離散確立変数の確立分布

つぼの中にｗ個の白球とｒ個の赤球がはいっているとします。このｗ＋ｒ個の球が入っているつぼからｎ個を抽出するとき、Ｘをこのなかに含まれる白球の数とすると、Ｘの確立分布は

Ｐ（Ｘ＝ｘ）＝（ｗＣｘ・ｒＣｎ－ｘ）／ｗ＋ｒＣｎ
　ｘ＝０，１・・・ｎ

で与えられると思います。この分布は超幾何分布というんですよね？（多分・・）

ｗ＋ｒ＝Ｎ＝母集団の要素の数、ｎ＝標本の大きさ、ｗ＝ある特性を有している要素の数（たとえば不良品の数、失業者の数）、ｒ＝その特性を有していない要素の数とすれば、この超幾何分布は有限母集団からの標本抽出を表しますよね。このときに、

Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ，ｐ＝ｗ／Ｎ（母集団のある特性をもつ要素の割合）
ｖａｒ（Ｘ）＝ｎｐｑ（（Ｎ－ｎ）／（Ｎ－１）），
ｑ＝１－ｐ

をどう証明したらよいのでしょうか？

また、（Ｎ－ｎ）／（Ｎ－１）は分散に対する有限母集団修正を表してて、ｎ／Ｎがきわめて小さければ、この修正項はほぼ１とみなすことができるからって、二項分布がこの分布の近似になることをどうやって確かめればよいんでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tancoro 回答日時： 2003/06/14 03:02

こんにちはtancoroです。

> Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ，ｐ＝ｗ／Ｎ（母集団のある特性をもつ要素の割合）
> ｖａｒ（Ｘ）＝ｎｐｑ（（Ｎ－ｎ）／（Ｎ－１）），
> ｑ＝１－ｐ
> をどう証明したらよいのでしょうか？
これらの証明は、下記の参考URLに全て載っています。結構わかりやすいと思いますよ。。

> 二項分布がこの分布の近似になることをどうやって確かめればよいんでしょうか？
証明は、下記のURLに任せるとして・・。これは、感覚として理解できないでしょうか。例えば、サイコロを振って１が出れば当たりとします。この時、n回振ってx回当たりが出る確率をb(x:n,1/6)とすると、この確率分布は二項分布になりますよね。
同じような例を超幾何分布で考えてみます。
【例】
1億個の白球と5億個の赤球が入っている壺から玉を抽出し、白球を引いた場合を当たりとします。この時、n個抽出してx個当たる確率は？

１回目に当たりを引く確率は、1億/6億。つまり、1/6。
２回目に当たりを引く確率も約1/6。３回目に当たりを引く確率も約1/6。４回目も当たりを引く確率も約1/6。つまり、ｎ／Ｎが極めて小さければ、先に説明したサイコロの場合と同等の確率分布となることが感覚的にわかると思います。参考までに・・・

参考URL：http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture …

この回答へのお礼

ありがとうございます！！参考ＵＲＬも大変参考になりました！ですが、やっぱり二項分布についての部分がなかなかわからなくて・・　式展開等で、確認するということはできないでしょうか？？すいません(T_T)

お礼日時：2003/06/17 01:29

No.2 回答者： tancoro 回答日時： 2003/06/17 10:03

こんにちは、dizzy77さん。

> やっぱり二項分布についての部分がなかなかわからなくて・・　式展開等で、確認するということはできないでしょうか？？
前回の参考URLは、読まれました？
もし、最後まで読まれていないのなら、もう一度見てみて下さい。『命題４』（最後の方）に、超幾何分布→二項分布の証明が載っていますよ。

この回答へのお礼

そうでした。。すいません(+o+)
いろいろお手間をかけましたが、ありがとうございました！！

お礼日時：2003/06/19 23:37