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1は自然数
1+1は自然数
1+1+…は自然数でない

1は実数
1.1は実数
1.1…は実数

{1}は集合
{1,1+1}は集合
{1,1+1,…}は集合

{1}は集合
{1}∪{2}は集合
{1}∪{2}∪…は集合

φは集合
{φ}は集合
{{φ}}は集合
…{{φ}}…は集合ですか?
つまり、"{"と"}"という記号を、外側に付け足していったときの集合列の極限は集合ですか?

次に、φを{ }と書くことにすると、
{ }は集合
{ { } }は集合
{ { { } } }は集合
{ { { …… } } }は集合ですか?
つまり、"{"と"}"という記号を、内側に付け足していったときの集合列の極限は集合ですか?

集合であるとしたらなぜか、同じ集合なのか、どういった集合なのか、なども含めて、専門的に教えていただけるとうれしく思います。

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A 回答 (25件中1~10件)

noname氏の答えは考えすぎです。


よほど特殊な集合論や論理を考えない限り、中括弧の入れ子が無限になることはありません。(基礎論などの専門領域に踏み込めば、あり得るかもしれませんが、通常はないと考えていいです。)
通常は、集合論はZFCを考えることが多いですが、ここでは基礎の公理(正則性の公理)というものがあって、これから、x1∋x2∋x3∋・・・ という無限列はなく、必ず有限回で{ } (空集合)になることが知られています。これは、中括弧の入れ子は有限個しかあり得ないことを示しています。
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ええと、私はときどき傲慢な回答をすることで顰蹙をかっているのですが、今回はいくらなんでも傲慢にも程があるので、謝罪します。


まるで、ここには数学の専門家がいないかのような言い方をしてしまいましたが、そんなことはありません。素人なのは私の方です。

イメージとして、{{{・・・{{{}}}・・・}}} というようなものは、考えられないでもありません。(ただし、「極限」という感覚とはちょっと違うと思います。)
この・・・の意味は、ωの中に超準元(つまり無限大(超)自然数)が含まれている場合を考え、中括弧の入れ子の深さnが無限大超自然数だった場合です。

もし、ZFCの自然なモデルが存在すれば(ZFC自身ではその存在は証明できない)、超準解析の入門書に載っている方法で、超準モデルも存在するわけです。
(従って、ZFCが無矛盾ならば、ZFCに「ωに超準元が存在する」ことを意味する公理を追加しても無矛盾・・・と言いたいところですが、それをやるためには、ZFCの言語や形式化をテクニカルに変更する必要があると思います。ただ、そうすればこの変な公理を付け加えることは可能のはずです。(ヘンテコな形になりましたが自分で一応やってみました。そこでミスをしていなければの話です。))

一見、∋の無限降下列(長さが(無限大の)n個になる)ができてしまうように見えますが、それは「外から見た」場合であって、集合論の中ではn<ω なので、「中から見れば」あくまで「有限」として扱われます。つまり、私が以前回答で使った関数fは作れないので、正則性の公理と(ぎりぎりセーフで)矛盾しません。

・・・もっとも、こんな病的な集合論をわざわざ作ったとして、それが役にたつかどうかは知りませんけど。
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直接の答えではないですが、No.4のお礼で、集合族の上極限と下極限による極限の定義と位相との関係に疑問をもたれてるようですので。

・・・とはいえ、私の手持ちの参考書にもはっきりとは書いてなかった(数学辞典の「収束」というところでは、こういう集合族の極限は「(o)極限」と言われるもののひとつだそうです)ので、私なりの考えを書いてみます(間違っていたらすみません)。(一般に、位相空間の元の列の収束を考えるのは、第一可算公理とかハウスドルフ空間であることを前提にしていることが多いので、一般に極限の概念から位相を考えるためには、有効集合とかネットとかフィルターを使うようです。従って、一意に位相が定義できるとは限りません。)

ある集合Dの部分集合全体U=P(D)の元の列A=(A[1]、A[2]、・・・)を考えます。ところで、Dの部分集合は、特性関数を考えると写像 D→2(2={0,1})全体2^Dと同一視できます。ここで2に離散位相を与えます。すると、UはDから2への関数空間と考えることができます。つまり、x∈DのときA[n](x)は0か1になるとも考えられます。そこで、パラメータの順番を変えます。
x∈D、nが正の整数、のとき、α(x)[n]=(x∈A[n] のとき 1 そうでないとき 0)と定義します。すると、α(x)は、α(x)[1],α(x)[2],・・・という0と1からなる列と考えられます。このときxが何であるかによって、以下の3つの場合に分かれます。
(1) xが集合列Aの下極限の元の場合。ある正整数Nが存在して、任意のn>Nとなる正整数nに対してα(x)[n]=1となる。つまり、離散位相に関して、この列は1に収束します。
(2) xが集合列Aの上極限の元「でない」場合。ある正整数Mが存在して、任意のm>Mとなる正整数に対してα(x)[m]=0。つまり、この列は0に収束します。
(3) xが集合列Aの上極限の元であって、下極限の元でない場合。列α(x)には0と1が無限個出現するため、発散します。

ところで、上極限と下極限が一致する場合(極限が存在する場合)は(3)の場合がありません。すなわち、任意のx∈D に対してα(x)は(0か1かに)収束します。
これは、イメージとしては、関数列の各点収束に似ていると思います。
もっとも、厳密に考察するためには、Uに位相を定義しなければいけないのですが。Uは一種の直積空間になりますが、直積に入れる位相には普通、強位相(箱位相)と弱位相のふたつがあるのでどっちが適切かがちょっと自信がありません。すみません。
その他、Uは単なる集合ではなく、包含関係⊆による順序などの構造が入ってますので、いろいろな考え方で様々な位相が入れられます。
また、Dがはっきりしない集合列でも、その項すべての和集合は必ず集合になりますので、それをDとすることはできると思います。

ただ、どちらにしても、この定義による極限では、…{{{}}}・・・ というような意味合いとは違いますね。
「高々ひとつの元を持つが、正則性が満たされるとは限らない」模型としては、例えば、ソフトウェアのデータ型で、自己参照がありえるポインタの集まり、なんてのも似ているかもしれません(図)。ポインタが自己参照があるにしても、正則性を持つ集合論の上で模型は作れます。ただし、外延性にあたる同値関係をどう導入するか(Java言語で言えば、equalsメソッドをどう定義するか)がかなり難しいですね。
ZFやそれに類似の集合論以外にも、ZFAとかNF(or NFU)などの集合論も研究されているらしいですが、知らないのですみません。(知っていても、ここで提出すると読者が混乱するかもしれないし。)
「…{{φ}}…は集合ですか?、{{{……」の回答画像23
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>ω={{}, {{},{{}}}、{{}{{}},{{{}}},...}を全体集合とすれば、


厳密に言えば、Z={{}, {{}}, {{{}}},・・・}として、写像ω→Zを考えれば、置換公理により、Zも集合。だから、Zを全体集合と考えれば、ですね。
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・・・というか、質問者様は、もう質問する側ではなく、回答する側でもいいんじゃなかいと? ここも人材不足だし・・・。

ここはスタンダードな答えの場所だから、それを超えるのは許容量があふれると思います。
ω={{}, {{},{{}}}、{{}{{}},{{{}}},...}を全体集合とすれば、上極限、下極限による「極限」での答えはすでに出ているのではないかと。

>このことは感覚的には分かりますが、本当に正しい論証なのでしょか?
いや、順序数の概念で考えれば、0∈1、1∈2、2∈3、・・・だけれども、ωも「ある意味でそれらの極限」だけど、ω∈ωにはなりませんから。
結局は、何度も繰り返しになりますが、極限の定義がはっきりしないと堂々巡りです。それがはっきりすれば、通常の集合論上で模型を作って、その上でそれが存在するか?とか、どのような性質が成り立つか?とかが分かります。

まあ、議論の元となっている基盤の集合論上で正則性の公理を外すと、「s={t}, t={s}, u={u}, のとき、s=t? s=u?」などと厄介な問題が出ますから、そういう場合も考えに入れた「模型」を考えるまでにとどめておく方がよいと思います。
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蛇足ですが。


FAQの一つとすれば「そんな集合は存在しない」というのが一番無難な答えだと思いますが。
結局は質問者様の質問で「極限とは何か?」ということがはっきりしない以上、沢山の答えがあると思います。0/0は何か?0の0乗は何か?というような問題になります。わかってらっしゃると思いますけれど。
質問者様はかなり深いところまで、考えてらっしゃると思いますが、数学は論理性が大事です。「この質問をここに出して、的確な答えが得られるか?」という問題を考えてみましょう。回答者は貴方ほど深く考えていない人がほとんどなのです。私も単なる半可通ですし。といって、専門家は自分の仕事に忙しくてここまでは手が回りません。ということで、結局、自力で研修するしかないかと思います。でなければ、誰が正しい答えを出しているか、が判断できないからです。

>x ∈ x や,x1 ∋ x2 ∋ x3 ∋ ・・・
>が存在しないようなので、意味を考えることはまったくの無意味と思うようになりました。
確かに通常では存在しませんが、正則性公理(基礎の公理)があったからといって実際にはまったく問題ありません。困ることはありません。直接にそういう集合を作るのはできないとしても、そういう集合論上でシミュレーションできる模型を作ればいいだけですから。
あと、0.999...と1との関係は昔から永遠の課題として議論されているので答えは出ないと思います。超準解析に話題を移しても、問題は解決されません。問題を別の話題に写しただけですから。

また、x1 ∈ x2 ∈ x3 ∈ ・・・はかまわないので、…{{φ}}…の極限を得る前の、φ、{φ}、{{φ}}、・・・という集合列を作ることはまったく問題ないです。しかし、「その極限」は結局定義されていないので、答えは出ないままです。
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¬(∀n∈ω)



(∀n∈ω)
の間違えです。
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帰納的極限は、いくらなんでもボケすぎました。


一応、X={ { { …… } } } というのを、「何かわからないけど、ただひとつの元がある」「その元も、何か一つの元を持つ」「元の元も、ただ一つの元をもつ」・・・と延々と続くとします。
すると、ωを定義域とした写像fが以下のように帰納的に作れます。
f(0)=Xとし、n∈ωに対して、f(n)が定義されたとすると、これは唯一つの元を持つので、その元をf(n+1)∈f(n)と定義する。
このfは、任意のn∈ωに対してf(n+1)∈f(n)となります。

すると、これは基礎の公理:任意の論理式ψ(x)に対して、
((∃x)ψ(x))→((∃b)(ψ(b)∧(∀z∈b)¬ψ(z)))
が成り立つ、と矛盾します。

ψ(x) ⇔ (∃n∈ω)(x=f(n))
と定義すると、ψ(f(0))ですから(∃x)ψ(x)は成り立つので、集合bとm∈ωが存在してb=f(m)∧(∀z∈b)(¬(∀n∈ω)¬(z=f(n))。ところが、これは、f(m+1)∈f(m)と矛盾します。

ということで、このようなfは存在できません。
従って、このようなfが定義できるようなXも存在しません。
(知ってらっしゃるとは思いますが、一応。)
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上極限云々ではφになってしまいますね。


写像f_n:A[n]→A[n+1]が各nについて自然に定義されるから、これらの写像を付加したダイアグラムの帰納的極限は?と考えてみました。
直和集合X=∪_(n=1)^∞ A[n]をとって、f_nらから生成される同値関係Rを考えればよい。しかし、これは、xと{x}を同一視するという(以前私がアホ回答で大恥かいた某区●●のような・・・回答削除してくれないかな・・・)関係から生成されるので、すべて同値、という自明な同値関係ですね。従って商集合は1点集合。・・・とはいえ、私が勝手に写像を追加したからこうなったわけで、答えにはなってませんね。まあ、空集合でなかっただけましか。
Z=…{{φ}}… とするとき、x∈Z ←→ ψ(x) (任意のx)となるような論理式ψ(x)ができればいいのですが、尋常なことでは作れそうもないですね。
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蛇足:


No.13お礼 に 1 + 2 + 3 + … = -1/12 が登場したことと絡んで、
内側へ向かって漸化する {{{…}}} の定式化の一例について。

パラメータを持つ集合列の漸化式
D[1](x) = x,
D[n+1](x) = D[n]( {x} )
を考え、
D∞(x) = lim[n→∞] D[n](x)
を定義します。
右辺の lim を No.10お礼 の意味での lim としておくと、
lim[n→∞] D[n](x) は x の値によらず収束して、
D∞(x) = φ となります。
この D∞(x) を {{{…}}} の定義とするのは、どうでしょう。

A[1] = φ,
A[n+1] = { A[n] },
…{{φ}}… = lim[n→∞] A[n]
と同程度には自然であるように思いますが。

この定式化と 1 + 2 + 3 + … = -1/12 に何の関係があるかと言うと、
…{{φ}}… = lim[n→∞] D[n](φ),
{{{…}}} = D∞(φ)
ですから、
…{{φ}}… と {{{…}}} の違いは、D[n](x) に対して
x=φ を代入するのが先か n→∞ の極限をとるのが先かの違いです。
一方、
1 + 2 + 3 + … = lim[n→∞] Σ[k=1…n] 1/k^(-1),
-1/12 = ζ(-1),
ζ(x) = lim[n→∞] Σ[k=1…n] 1/k^x
なので、
1 + 2 + 3 + … と -1/12 の違いは、Σ[k=1…n] 1/k^x に対して
x=-1 を代入するのが先か n→∞ の極限をとるのが先かの違いです。
どちらも、収束の一様性と表記の適切さの狭間の問題であることが
解ると思います。

この質問の場合、ζ(-1) のときとは異なり、
…{{φ}}… = {{{…}}} = φ となるだけなので、
しょもないと言えばしょもない話なのですが。
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