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ベルヌーイの定理とは？

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  • 質問者：mako0802
  • 質問日時：
  • 回答数：6件

初心者にも分かり易くベルヌーイの定理を教えてください。

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参考程度に

小・中学生向けのサイトなので、わかりやすく説明されています。


こちらも参考になるかもしれません。

・ベルヌーイの定理 | ニューワイド学習百科事典 | 学研キッズネット
https://kids.gakken.co.jp/jiten/6/60023070.html

A 回答 (6件)

No.6ベストアンサー

ベルヌイの式とは、皆さんが回答されているとおり、流体に関するエネルギー保存の式でいいと思うのですが、初心者に誤解を与えかねないような回答がありますのでコメントさせて下さい。



まずNo.4の方がおっしゃっているのは連続の式のことでベルヌイの式とは関係がありません。非圧縮性流体とは密度が一定の流体のことを意味し、流れが速かろうが遅かろうが分子間の距離は一定のままです。また分子間の距離は圧力とは関係がありません。関係するのは温度です。

翼の説明に関して、No.3の方が「翼の前面で分かれた空気は翼の後縁で一緒になります（これは厳密にいうと仮定でして、必ずしも一緒にならないこともあり得ます）。 」と書いておられますが、通常は上面の流れの方が後縁に先に達し、翼の後縁で一緒になることはありません。
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No.5

  • 回答者： Gospel
  • 回答日時：

端的に言いますと、


流体中（液体や気体）で流れの速い部分の圧力が低くなる、
これがベルヌーイの定理です。

回転をかけたボールがカーブするのもこのためです。
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No.4

  • 回答者： SCNK
  • 回答日時：

狭いところのある管の中を流体がとおるとき、狭いところでは広いところより早く流れなければ、同じ量の流体を流す事ができません。

もしそうでなければ管がら溢れ出してしまいます。

早く流れているとき、分子と分子の距離は広くなりますよね。つまり気圧が低くなるわけです。

ただしこれが成り立つのは、あくまでも非圧縮性流体の場合です。超音速での流れではかえって圧縮されてしまいますし、狭いところで衝撃波を生じます。
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No.3

  • 回答者： kbannai
  • 回答日時：

流体力学の法則・定理のひとつです。



例えば飛行機の翼で説明します。

飛行機の翼の断面は、かまぼこのように上に凸というか、上面が湾曲しています。このような形を持った翼が空気のような流体を通過するときには、翼の前面で分かれた空気は翼の後縁で一緒になります（これは厳密にいうと仮定でして、必ずしも一緒にならないこともあり得ます）。

ということは、上面のほうが湾曲しているので、翼の上面を通過した空気のほうが、下面を通過した空気よりも、長い距離を通過したことになります。通過した時間は上面も下面も同じなので、結局、上面を通過した空気の流れのほうが「速い」ことになります。

このとき、上面の圧力が下面のそれよりも低くなるので、上向きの力、つまり「揚力」が発生して、一定以上の速度（推進力）を出せば、飛行機が持ち上がるというわけです。

なお、飛行機の翼を逆さまにしたものが、自動車（特にF1）のリア・ウィングです。
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No.2

  • 回答者： tetujin3
  • 回答日時：

ブーメランが回転しながら戻ってくるのはベルヌーイの定理に従うことによるものです。

また，飛行機の翼は，湾曲した翼上部に負の圧力，すなわち，揚力が生じるのもこれによるものです。

ベルヌーイの定理は，気体や液体などの流体に関するもので，流体の持つ位置エネルギー，運動エネルギー，圧力エネルギーはエネルギー保存の法則に従うとするものです。

簡単に言えば，ある流体があるとして，その位置エネルギー，運動エネルギー，圧力エネルギーは互いに変化するものの，その総和はつねに一定であるということ。
速度が変化して早くなれば，圧力はその分，低下します。
飛行中の飛行機の翼において，湾曲した上面を流れる空気の速度は，フラットな下面を流れる空気の速度よりも高速になります。空気が高速になった分，圧力が低下し，これによって飛行機には揚力が生じる訳です。

もっと，詳しく書かれたホームページのリンクを挙げておきます。ご参考まで。

参考URL：http://www.gijyutu.com/kyouzai/kikai/beru1.htm
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No.1

中学校くらいで学習するはずなんですが、


理科の教科書を見てご自分で勉強してみましたか？
そして、どこが理解しにくいところですか？

下記に親切な解説が出ています。
これをご自分で探すといいのにねえ


http://www.gijyutu.com/kyouzai/kikai/beru1.htm
http://www.gijyutu.com/kyouzai/kikai/beru2.htm
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Q流量の計算式。

流体の流量の計算式でこのような記述を教えて頂きました。
流量＝(圧力元吐出口圧力-シリンダ入口圧力)/配管抵抗
流量は、流速×断面積ではないのですか？
これなどのような式なのでしょうか？
成立する場合単位を教えて頂きたいです。
できれば簡単な数値を入れて、計算式を教えて下さい。
お願い致します！

Aベストアンサー

＞流量は、流速×断面積ではないのですか？
そうなのだけれど、今問題としているのは、圧力から流量を計算する式がどうなっているか、であるため
流速×断面積という回答ではアウト。

で、流量＝流速×断面積という関係があるので、　流速と圧力の関係を式で示す方法でも可。

＞これはどのような式なのでしょうか？
要するに、圧力差と流量は比例する、という式。

No.3の回答とは違います。No.3の回答は、圧力差と√流量が比例し、適当な範囲を取り出すなら、
そらは直線で近似できる、ということ。それ自体はそうなのですが、それなら
流量＝(圧力元吐出口圧力-シリンダ入口圧力ーα)/配管抵抗
と、なにやら意味不明（＝実験などで求める）の定数がオマケに入ります。

で、圧力差と流速は比例する場合と圧力差と√流速が比例する場合は、両方存在。
粘性が低い場合（たとえば水）が√流速に比例し、粘性が高い場合（たとえば油）が流速に比例します。
※厳密に言えば、√流速と流速の中間の中途半端な状態です。また、水の場合でも地下水（流速が遅く、かつ、管径が細い、と考えればよい）なら流速に比例します。
よって、油（など、粘性が高い流体）の場合の計算式がＨＰに示されていたものと思われます。

式を一般形で書くと、

ΔＰ＝ｆ　・　Ｌ/Ｄ　・　Ｖ＾2/2ｇ　　（ダルシー・ワイズバッハの式）

ｆ　：比例定数（損失係数）
ΔＰ：圧力差　（＝圧力元吐出口圧力-シリンダ入口圧力）　単位は、ｍ。　（圧力を、流体の密度で割ったもの。）
Ｌ　：管の延長　　ただし、曲がりなどは、適当な倍率を掛けて直線に換算する。
Ｄ　：管の直径
Ｖ　：流速　　お望みなら、Ｑ/ （πＤ^2/4）と読み替える。
ｇ　：重力加速度　約9.8m/s^2

ややこしいのがｆであって、定数と書いたけれど定数ではない......
油のような場合、ｆ＝Ｘ/Ｖ　（Ｘ：今度こそ定数。）　、水の場合はｆは定数（として解く場合と、Ｖの関数として解く場合の両方を使い分ける。）

油の場合、ｆ＝Ｘ/Ｖなので、式を整理すれば、
Ｖ＝ΔＰ×β　（β：式を整理し、管の直径などの定数から計算した定数）
Ｑ＝Ｖ/Ａだから、
Ｑ＝ΔＰ÷（Ａ/β）　　　ここで、Ａ/βを配管抵抗と定義すれば、元の式と一致。

＞できれば簡単な数値を入れて、計算式を教えて下さい。
それ、上の説明で、βの計算式を示すしか方法がないが....
動粘性係数とかレイノルズ数とか出てきて、とてもじゃないけど簡単じゃないです。

＞流量は、流速×断面積ではないのですか？
そうなのだけれど、今問題としているのは、圧力から流量を計算する式がどうなっているか、であるため
流速×断面積という回答ではアウト。

で、流量＝流速×断面積という関係があるので、　流速と圧力の関係を式で示す方法でも可。

＞これはどのような式なのでしょうか？
要するに、圧力差と流量は比例する、という式。

No.3の回答とは違います。No.3の回答は、圧力差と√流量が比例し、適当な範囲を取り出すなら、
そらは直線で近似できる、ということ。それ自体はそう...続きを読む

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QNをkgに換算するには？

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか？一応断面積は40mm^2です。
1N＝9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか？
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

ｋｇｆはＳＩ単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


＞＞＞
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか？

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Ｎの力で引っ張るのと同じですか？」
ということですか？

・・・であるとして、回答します。

４０ｋｇのおもりなので、「おもりにかかる重力」は４０ｋｇｆです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに４０ｋｇｆの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

４０ｋｇｆ　＝　４０ｋｇ×重力加速度
　＝　４０ｋｇ×９．８ｍ／ｓ^2
　＝　だいたい４００Ｎ

あるいは、
１０２グラム（０．１０２ｋｇ）の物体にかかる重力が１Ｎなので、
４０ｋｇ　÷　０．１０２ｋｇ／Ｎ　＝　だいたい４００Ｎ


＞＞＞1N＝9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか？

いえ。
１ｋｇｆ　＝　９．８Ｎ
ですね。


＞＞＞一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、４００Ｎを断面積で割るだけです。
４００Ｎ／４０ｍｍ^2　＝　１０Ｎ／ｍｍ^2　＝　１０^7　Ｎ／ｍ^2
１Ｎ／ｍ^2 の応力、圧力を１Ｐａ（パスカル）と言いますから、
１０^7　Ｐａ　（１千万パスカル）　ですね。

こんにちは。

ｋｇｆはＳＩ単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


＞＞＞
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか？

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Ｎの力で引っ張るのと同じですか？」
ということですか？

・・・であるとして、回答します。

４０ｋｇのおもりなので、「おもりにかかる重力」は４０ｋｇ...続きを読む

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Q流量計算方法

横に配管してある内径１００ミリの水位が半分の５０ミリのときで、流速が３ｍ／ｓの時の流量を求める計算はどんようにすれば良いのでしょうか。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こんにちは
流量＝断面積×流速

断面積（Ａ）は、水位が半分なので、ちょうど半円の面積となりますよね。
よって、
Ａ＝50mm×50m×3.14×(1/2)
　＝0.0039m2

これより、流量（Ｑ）は
Ｑ＝Ａ＊Ｖ
　＝0.0039×3
＝0.0117m3/s
＝(702L/min)

となります。

※上記は単純計算です。
　配管内が半充水ということは、排水管かなにかでしょうか？
　おそらく勾配もついているのではないでしょうか？
　こうなると、もっと複雑な計算となります。
　（マニングの式というものを使います）
　ご確認ください。
　

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Ｅとは何ですか？

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Ｅとは何でしょうか？

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか？それとも講座などをうけたのでしょうか？

回帰分析でＲ２（決定係数）しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか？
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは？
　2.43×1/(10の19乗)で、
　2.43×1/10000000000000000000となり、
　2.43×0.0000000000000000001だから、
　0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何？下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては？

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

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Q配管径と圧力から流速を求めたい

このサイトでも調べましたがなかなかＨＩＴせず、悩んでおります。　だれか御教授ください。

　圧力タンクに５Kg/cm2のエアーが溜まっておりますが、吐出配管径が５０mm（５００mm)が付いており、大気開放しています。この場合流速はどのように求めればよいのでしょか？　圧損等はないものとします。　吐出配管１００ｍｍの場合と比較したいのですが、
（流速が分かれば流量も分かると思います）
これだけの情報で吐出流速はわかるのでしょうか？
大変悩んでおります。　詳しい方　ご解説よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

この場合、配管径が大きいので#1さんのおっしゃる粘性による影響は無視できるでしょう。むしろ流量を決めているのは流れの圧縮性です。

空気で大気圧に開放する場合でしたら、圧力タンク内の圧力が十分高ければ(約1.89気圧以上)あれば、吐出配管部入口で流れは音速にまで加速されます。その場合の流速は、圧力タンク内の空気の温度T、Rをガス定数、kを比熱比として

　　V=(2kRT/(k+1))^{1/2}

と求まります。また、流量は、配管部入口で流速が決まっているので

　　m=A (2/(k+1))^{(k+1)/{2(k-1)}} (kP^2/RT)^{1/2}

と求まります。圧力タンク内の状態が同じであるならば、流量の比は配管の面積の比になります。

これらの式の導出等に関しては、圧縮性流体に関する本をお調べ下さい。ノズル、流れの閉塞(チョーク)などがキーワードです。

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Q気体の圧力と流量の関係

　初歩的な質問で申し訳ないのですが、
気体（例えばair）を、ある一定の圧力をかけてホースに送り込むとします。
そのホースの中間に、流量調整を行える器具を取り付けて、流量を絞り込んだ時、
その器具の前と後では圧力は変わるのでしょうか？
　又、圧力と流量は比例するのでしょうか？

Aベストアンサー

「静圧」と「動圧」があります．
静圧と動圧を足して圧力で表したものを「全圧」，
それを温度で表したものを「全温」と言います．

全圧をＰｔ，静圧をＰｓ，密度をρ，流速をｖとすると，
Ｐｔ＝Ｐｓ＋（ρｖ＾２）／２
です．「ベルヌーイの法則（又は定理）」ですね．

因みに，オリフィス等の流量調整器の前後ではちょっと複雑です．
小さな穴を通過するときは「絞り＝等エンタルピー過程」となるからです．
Ｈ＝Ｃｐ・Ｔ＝Ｃｖ・Ｔ＋ＰＶ，　Ｔ：静温，Ｐ：静圧，Ｖ：比体積
ここで，オリフィス前後１→２で変数が，
Ｐｓ１，Ｖ１，Ｔ１，ｖ１，Ｐｓ２，Ｖ２，Ｔ２，ｖ２
の８つあって，
・等エンタルピー過程である
・前後の静圧を測定
・ベルヌーイの法則
・状態方程式
を用いれば，全てビシッと求まります．

因みに，もしオリフィス前後で臨界圧力比を越えていれば，
オリフィスで音速となります．

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Q空気の流れが速くなると圧力が低下するとは？？

流体の流れが速くなると圧力が低下するというベルヌーイの定理は理解出来たのですが、その原点にあたる部分の流体の流れが速くなると圧力が低下するというくだりがイメージできません。
なぜ流体の流れが速くなると圧力が低下するのですか？

Aベストアンサー

No.2です。こんなの↓もありました。イメージは簡単ですね、こっちの方が。
流線曲率の定理　Wiki
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%81%E7%B7%9A%E6%9B%B2%E7%8E%87%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

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QNをPaに単位換算できるのか？

大変困ってます。
皆さんのお力をお貸しください。

加重単位Nを圧力単位Paに変換できるのでしょうか？
もし出来るとしたらやり方を教えてください。
具体的には３０Nは何Paかということです。
変換の過程も教えていただければ幸いです。

是非、ご回答、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

　No.1さんがおおまかに答えておられますが、補足します。
　N(ニュートン)は力の単位です。対して、Pa(パスカル)は圧力の単位です。これらは次元が違うので、単独では変換はできません。
「30 Nは何Paか」
というのはナンセンスです。
　NとPaの関係は、
Pa = N/m^2
です。質問が、
「30 NをPaを使って表せ」
というのならば、
30 N = 30 Pa・m^2
となります。m^2(平方メートル)という単位が必要になります。物理量の間の関係、
圧力 = 力/面積
および、単位の間の関係
Pa = N/m^2
を整理して覚えてください。

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Q圧力損失とは　

圧力損失について色々検索し調べましたがいまいち分かりませんのでご教授下さい。

供給圧力が一定と仮定した場合
流れる流量と圧力損失（配管長さ）の関係を教えて下さい。
配管径は同じ、配管は水平です。

イメージですが、
圧力損失が増えると流量が多く必要となる。
→配管長さが長いと圧損が大きいので流量が多い。
配管が短いと圧損が小さい→流量が少ない。

以上のイメージから配管を長くすればするほど必要流量が大きくなる。
ポンプの性能で最大流量が決まっているので、ある長さから必要な流量をまかなえなくなる。
そのため、それ以上の長さになると流体は配管の途中で止まってしまう。
こういうことは本当にあるのでしょうか？

長くなりましたが、１．流量と圧力損失の関係、２．上記の理解で正しいかどうかご教授下さい。

Aベストアンサー

全水頭H＝供給圧力一定とした場合
全水頭Hは
H=損失水頭＋速度水頭＝一定

圧力損失が増えると流量が多く必要となる。
圧力損失が増えれば、流速＝流量は減る。
（多く必要となる＝設計者の意思？）
→配管長さが長いと圧損が大きい
ので流量が多い。＝＞流量は小さい
配管が短いと圧損が小さい→流量が少ない。＝＞流量は多い

以上のイメージから配管を長くすればするほど必要流量が大きくなる。
必要流量＝だれが必要としているのか？

→配管を長くすれば、圧損がふえ、流量が減る。

ポンプの性能で最大流量が決まっているので、ある長さから必要な流量をまかなえなくなる。
それ以上の長さになると流体は配管の途中で止まってしまう。
流速が減ると損失の減るので単純ではないが大まかには正しい。

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Q回転数と流量、揚程、動力の関係について

こんにちは。
ポンプで回転数ｎと流量Ｑ、回転数ｎと揚程Ｈ、回転数ｎと軸動力Ｌの関係について回転数ｎ1、ｎ2としたときＱ1/Ｑ2＝ｎ1/ｎ2、Ｈ1/Ｈ2＝（ｎ1/ｎ2）＾2、Ｌ1/Ｌ2＝（ｎ1/ｎ2）＾3とそれぞれ１乗、２乗、３乗の関係がある
解説を見るのですがこの根拠を教えて下さい。

Aベストアンサー

　
根拠は「運動とエネルギーの関係」です。
ポンプを理想化した原理的な表現です。


１．流量。
直径Dの車輪がｎ回転/秒で回ってる場合の外周の速度は
　　V = πD・ｎ　　です。
外周に羽根を付けて水を掻くと、水も同じ速度Vで動きますから、

(1)　流量Qは 『 回転数に比例 』 します。
(2)　Q = ｋ・ｎ　　比例式で表した。ｋは比例係数。
(3)　Q1/Q2 = ｎ1/ｎ2　係数を使わない形の比例式。

　(3)は、(2)の適当な２カ所、Q1=k・n1、Q2=ｋ・n2 を分数にしただけのものです。分数にするとｋが消えますよね。ｋは水車の寸法とか水の抵抗などが絡む現実的なものだから、抽象的な話をするときには出て欲しくない、そこで(3)のように「出てこない形」にするのです。
さらに、分数にすればメートルとかkgとかの次元も約分されて消えてしまうので「ただの数」になります。10rpmと20rpm、1000rpmと2000rpm、分数ならどちらも「2倍」となり、理論的、抽象的に説明をやりやすいのです。



２．揚程
物理の「運動エネルギと位置エネルギの関係」そのものです。物理の教科書にある式、
　　1/2・mV^2 = mgH　　Hは高さ
これを上記の(3)をマネして、V1のときH1、V2のときH2、の記号を使って分数にすると、ｇもｍも1/2もみんな消えて、
　　(V1/V2)^2 = H1/H2
となりますね、見やすいでしょう？
Hは揚程そのものだし、回転数と流速Vは上記１から分かるように比例です（この比例計数も分数で消えてしまうことが理解できますか？）。
　　(n1/n2)^2 = H1/H2
となります。



３．動力
動力（ワットとか馬力）は、単位時間のエネルギ量（ジュール）、すなわち ジュール/秒 です。
単位時間に運ばれる流体の質量は
　　m =ρQ　kg/s
ρは流体の密度kg/m＾3、Qはm^3/s
連続して毎秒、位置エネルギmgHを与え続けるから、その動力は
　　L = mgH = ρQgH　J/s
これもまた分数化すると、
　　L1/L2 = (Q1H1)/(Q2H2)
これにQとHの式を入れると、
（以降は自分で。）



（分数にしてただの数にする方法を、無次元化や基準化などとも言います）

　
根拠は「運動とエネルギーの関係」です。
ポンプを理想化した原理的な表現です。


１．流量。
直径Dの車輪がｎ回転/秒で回ってる場合の外周の速度は
　　V = πD・ｎ　　です。
外周に羽根を付けて水を掻くと、水も同じ速度Vで動きますから、

(1)　流量Qは 『 回転数に比例 』 します。
(2)　Q = ｋ・ｎ　　比例式で表した。ｋは比例係数。
(3)　Q1/Q2 = ｎ1/ｎ2　係数を使わない形の比例式。

　(3)は、(2)の適当な２カ所、Q1=k・n1、Q2=ｋ・n2 を分数にしただけのものです。分数にするとｋが...続きを読む

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