「無理数全体の集合Pについて、｜P｜＞N0（アレフゼロ）を示せ」

「無理数全体の集合Pについて、｜P｜＞N0（アレフゼロ）を示せ」
という問題がわかりません。解き方を教えて下さい。

教科書には実数の集合の濃度がアレフゼロより大きいことの証明が載っていて、それは無限小数に関する対角線論法を使っていたので、同じ方法で証明しようとしたのですが、その場合、対角線論法により作られた新しい無限小数が無理数に含まれることを示せなかったので挫折しました。（当然実数には含まれるのですが・・・）この方法でできるのでしょうか？それとも全く違った方法を使うのでしょうか？

　よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： funoe 回答日時： 2010/03/24 17:20

どの程度の細かさで示したいのかよくわかりませんが・・・。

１）
無理数全体の集合Ｐが可算であるとすると、
有理数全体の集合Ｑが可算であることから（教科書に書いてあるよね？）
Ｒ＝Ｐ∪Ｑ　も可算集合となる。（証明要？教科書に書いてあるよね？）
これはＲが非可算であることに反する。
以上よりＰは非可算。
従って　｜Ｐ｜＞｜Ｑ｜
　　（非可算なら可算より大きいのはＯＫ？教科書に書いてあるよね？）
　

なんて、簡単に言っちゃうのもありだし、


２）
ベルンシュタインの定理を用いて、Ｒ～Ｐを示す。
ＰからＲへの単射の存在は自明なので（恒等写像をとればよい）
ＲからＰへの単射の存在を示す。
区間［０，１）から、この区間内の無理数全体Ｐ’への単射の存在を示す。
ｘ→　ｘ/2　（ｘ無理数のとき）
ｘ→　1/2＋ｘ/√5　（ｘが有理数のとき）
とすればこの写像は、［０，１）からＰ’への単射。
従って、［０，１）～Ｐ’　　（ベルンシュタインによる）
これを繰り返せば（ｒ∈Ｒの小数部分に注目して反復！）
Ｒ～Ｐ
以上よりＰは非可算。
従って　｜Ｐ｜＞｜Ｑ｜

なんてのも手作り感があって良いよね。

この回答への補足

迅速な回答ありがとうございます。
今　考え中です。また二、三日したら
ご返答したいと思います。（すみません　今　やらなければならないことが多すぎて・・・）

補足日時：2010/03/26 00:49

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみませんでした。

おかげさまで　解答を作れそうです。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/03/29 16:36

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/03/24 22:39

>この方法でできるのでしょうか？

要は循環少数にならないように「対角線」が取れるか？ということでしょ？
できそうな気もするけど試してない。

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみませんでした。

おかげさまで　解答を作れそうです。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/03/29 16:37