なぜ「波形」と「sin,cos」の形は同じなのですか？

sin,cosというのは、そもそもの意味はあくまでも
「直角三角形の斜辺に対する正弦、余弦の割合」
ですよね？
（単位円がどうたらという話にしても同様）

では、なぜ（紐だの水面だのの）波形とこれが一致するのでしょうか。
双方に関係は全然ないような気がするのですが・・・。

No.4 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2010/04/02 20:46

波とは空間のある場所で起こった振動が他の場所に伝わる現象のことです。

振動は一定の時間間隔で同じ状態が繰り返す現象です。

振動にはいろんな種類があります。
その中で基本になるのが単振動と呼ばれているものです。
ばねの振動は単振動です。
釣り合いの位置からのずれが生じると元の位置に戻るような方向に力が働きます。この力がずれの大きさに比例している場合に起こる振動が単振動です。
単振動はｓｉｎ，ｃｏｓで表されます。
単振動が空間を伝わる波もｓｉｎ、ｃｏｓであらわされます。

単位円の上を一定の速さで運動している点の位置の変化がｓｉｎ，ｃｏｓであらわすことができるということが振動の表現になっています。
これが横に伝われば波の形ができます。

振幅のあまり大きくない水面の波がｓｉｎ，ｃｏｓになっているのは水面の波も単振動だからです。ずれに比例した復元力が働いています。

＃１
単振動は等加速度運動ではありません。
加速度が一定であるということは働いている力が一定であるというきおとです。
釣り合いの位置からのずれに比例した復元力が働いているのですから
加速度の大きさは絶えず変化しています。

水の場合にずれに比例した復元力が働いているというのはＵ字管の中に入れた水の場合で考えると分かりやすいでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
直感的には、ばねの振動と同じように考えておけばいいのですね。

お礼日時：2010/04/02 21:51

No.6 回答者： htms42 回答日時： 2010/04/04 08:59

＃４です。

等速円運動をしている質点の位置の変化をある方向（ｘ方向）から見ると（ｘ方向に射影すると）ｓｉｎ，またはｃｏｓであらわすことができるというのは認めていただけるようですね。
これは幾何的なイメージです。

この質点の運動を運動方程式で考えてみます。
質点には中心向けに一定の大きさの力（向心力）が働いています。
この力のｘ方向の成分を取るとずれに比例した中心向きの力が働いていることがわかります。

ばねの振動でも変位に比例した復元力が働いています。同じ性質の力が働いているということは同じ性質の運動がおこっているということです。等速円運動をある方向に射影した時に見える運動とばねの運動とは同じ性質の運動（ｓｉｎ，ｃｏｓで表される運動）であるということです。

多くの振動で変位が小さければ変位に比例した大きさの復元力が働くという性質が見られます。（変位がどの程度小さければいいのかというのは物質によって異なります。）

振動、波の一般的な表現としてｓｉｎ，ｃｏｓが使われるのはこのような性質があるからです。







ばねの振動

No.5 回答者： pon_1955 回答日時： 2010/04/03 12:56

　他の方の解答にも一部重複しますが、

　　(1)振動系を構成する各点が受ける外力は加速度に比例する。
　　(2)大きさが変位に比例し、変位とは逆方向の復元力が働く。
　　　　　　※これが(1)の外力になる。
このような場合、
　　m*d^2X／dt^2 + kX = 0
という方程式が成立し、バネの先に重りを吊るした系では、上記方程式は、
　変位:X、時間:t、錘の質量:m、ばね定数:k となります。 そして、このような方程式の解は、正弦波(sin, cos)あるいはその重ね合わせになります。
　もっと複雑な本来非線形の振動系つまり、復元力が変位に比例しない場合などでも、変位Xを十分小さくすると、十分小さい誤差で近似できることが多いので、上記方程式とその解としてのSin、Cosは、多くの振動を説明する場合に重宝され、しばしばお目にかかることになります。この振動を表す方程式は、電気回路の振動などにも適用され、力学以外の用途も広いです。ここまでは、すでに、勉強されたことでしょうけど、私なりにまとめてみました。
　もともと、SinやCosは、幾何学的な概念から始まっていますが、上記の振動を表す最も単純で応用範囲の広い運動方程式の解にもなっています。これはすごいことだと思うのですが、両者を結びつける必然性は私にはわかりません。どなたかが、面白い説明をしてくれるかもしれません。一見、無関係な概念を結びつけることは、数学や科学の醍醐味であって、そのカギとなる重要な関数や定理は、キラキラ輝いていて出番も多い、ということだと思うのですが、これでは答になっていませんね。ご参考まで、ということで、あしからず。
　

この回答へのお礼

いえいえ、回答ありがとうございました。

そうです、その必然性のなさが引っかかるんです。
要は、二階微分すると（係数付きで）元に戻る不思議な関数というのが重要なんでしょうけどね。

お礼日時：2010/04/04 20:18

No.3 回答者： tadys 回答日時： 2010/04/02 13:41

（紐だの水面だのの）波形は sin,cos ではないのですが。

それはさておき、
条件付ではありますが「任意の波形はsin,cosの和で表す事ができる」という「フーリエの定理」が有ります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7% …

何故そうなるのかは「フーリエ積分」「フーリエ級数」を勉強してください。
教科書より上手く説明する自信は有りませんので。

No.2 回答者： aurumnet 回答日時： 2010/04/02 13:14

一定の時間で同じ現象が繰り返されるものはsin,cosのように一定の周期で同じ値をとる周期関数によって近似できます

よって波も一定の周期でおなじ現象が現れるものであればsinやcosで近似できる

方形波（一定時間ごとに0,1を繰り返すような波）も一見sin,cosで表せないように見えるが周期関数を複数組み合わせることで近似することができる

No.1 回答者： FEX2053 回答日時： 2010/04/02 12:28

直角三角形の斜辺を半径とする円ａを描くと、Sin/Cosは

「円ａ上を一定速度で回転している物体を横から見た時の
　動きを、時間を横軸にして表したもの」

と、等価になります。これは言い換えると、

「一定の加速度を受けて固定的な軌道を動いている物体の
　動き」

になります。惑星の動きを例に取るまでもなく、円周上を
同じ速度で動く＝接線方向に一定速度で動きつつ、中心に
向けて一定の加速度で落ちている、という動きですから。

波形は「一定の位置で繰り返される等加速度運動」ですから、
単純化するとSinカーブになるんです。逆に言えば「一定の
位置で等加速度運動」をする物質は、どこかでSin/Cos的
動きをする、ということにもなります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

惑星運動の解析は一応やったことがあります。
あの手のものの軌道の射影が正弦関数的となるのはわかるのですが、
紐や水面はどうしてああいうふうになるのかがわかりません・・・。

お礼日時：2010/04/02 15:35