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■すごい手品のような話があります。

123456789の数字の中から、
ある一つの数を取り去ります。

たとえば5を抜くとします。

そして、のこった
12346789を、全てを使って、足し算をします。
その際、足し算の仕方はどうでもいいそうです。
すなわち、
1+2+3+・・・と一つずつやっていってもよし。
あるいは、
123+46+789 などとやってもいいのだそうです。

そして、その答えを聞くと、たちどころに、
『抜いた数字は5だろう』と、当てられるのです。

この、すごい手品の仕組みは、いったいなんですか???
どなたか、わかりますか!???
証明とかまで、わかったら、最高にありがたいのですが・・・。

よろしくお願い致します!!!!

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A 回答 (2件)

こんばんわ。


少し詰め切れていないところもあるのですが、こんな感じかなあ?ということを。^^;

1~9をすべて足すと、45と 9の倍数になりますよね。
また、数字の各ケタの数を加えて 9の倍数になると、もとの数も 9の倍数と言えますよね。

そこで思ったのが、数を取り除かずに「足した」数が 9の倍数になると言えれば・・・(★)
これが正しいとして、取り除いたときを考えてみます。

取り除いた数の足し算は (9の倍数)-(取り除いた数)となります。
文字を用いれば、9k- n(nは取り除いた数)となります。
もう少し変形すれば、
9k- n= 9(k- 1)+ (9- n)= (9の倍数)+ (余り)

つまり、9で割ったときの余りが mだとすれば
m= 9- nより n= 9- m

となります。


>「123+46+789」のときであれば、
123+46+789=958となり、9で割ると余りは4
よって、取り除かれた数は 9-4=5


(★)のところがすっと言えれば、解決かなあと思うのですが・・・。
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この回答へのお礼

ご回答いただいた、お二人の方へ。

わ。わ。わかりました。
意味というか、仕組みがわかりました!

なるほど、です!
ご存知だったのですか?
まだ、細かいところまでは私の頭の中でも詰めきっていないですが、大体の仕組みはわかりました!

カナリ嬉しいです。 

どうも、ありがとうございました!!

お礼日時:2010/04/19 23:40

 1~9まで全てを足すと45になります。

45の4と5を足すと9になります。1~9までの内、5を抜いて足すと40,40の4と0を足すと4、9から4を引くと、9-4=5で5を抜いたことが分かります。
 言い換えると足した答えを9で割ったあまりを9から引くと抜いた数字が分かるのです。

 これを踏まえて、では
1234+6789では、1234+6789=8023。8023のそれぞれの数字を足すと13,13を1と3に分けて足すと4。9-4=5で5を抜いたことが分かります。

 な~んでか?
1234+6789は
1*1000+2*100+3*10+4 + 6*1000+7*100+8*10+9です。
ところで1000=999+1,100=99+1,10=9+1ですので、
1*(999+1)+2*(99+1)+3*(9+1)+4 + 6(999+1)+7*(99+1)+8(9+1)+9
999,99,9は9で割り切れるので、余りになるのは
1+2+3+4+6+7+8=31、3+1でも31÷9でも良いけど、
(1234+6789)÷9の余りは4になることが分かります。
で、9-4=5で5を抜いたことが分かります。

 ですから、足し算の答えの各桁の数字を足して9で割り、余りを9から引くと抜いた数が分かります。
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この回答へのお礼

ご回答いただいた、お二人の方へ。

わ。わ。わかりました。
意味というか、仕組みがわかりました!

なるほど、です!
ご存知だったのですか?
まだ、細かいところまでは私の頭の中でも詰めきっていないですが、大体の仕組みはわかりました!

カナリ嬉しいです。 

どうも、ありがとうございました!!

お礼日時:2010/04/19 23:39

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Aベストアンサー

なにしろコタエが多いので、できるだけ数式で解こうとしましたが、
以下の通り(1)~(5)の条件を満たす組み合わせ、ということを導く
までにとどまりました。力及ばずです。

プログラムを組んで数え上げたところ、168×2通り(×2は、
「●-○=△」と「●-△=○」をカウントするの意)のようです。



与式を、[pqr]+[xyz]=[abc]と表すことにする。
 ・[pqr]は、100,10,1の位がそれぞれp,q,rの3桁の数。
  値は=100p+10q+r
 ・p,q,r,a,b,c,x,y,zは、1~9のいずれかで互いに重複無。

このとき、ある位での足し算は、
・前の位での繰り上がりで1更に足される
・繰り上がりによって次の位の足し算に1更に足す
・上記2つ以外(繰り上がりの影響皆無)
のいずれかで、かつ最上位の位では1))3)のいずれか。
従って、
{r+z,q+y,p+x}
={c,b,a}、{c,b+10,a-1}、{c+10,b-1,a}、{c+10,b-1+10,a-1}
の4つのいずれかに分類される。

これより、
a+b+c+p+q+r+x+y+z
=2(a+b+c)、2(a+b+c)+9、2(a+b+c)+9、2(a+b+c)-18 のいずれか。

左辺=1~9の和=45、a,b,cはいずれも自然数なので、
a+b+c=18 ・・・(1)
{r+z,q+y,p+x}={c,b+10,a-1}、{c+10,b-1,a}のいずれか ・・・(※)

(※)の前者の場合
1+2<=c<=9、11<=b+10<=8+9、1+2<=a-1<=8 ・・・(2)
(※)の後者の場合
11<=c+10<=8+9、1+2<=b-1<=8、1+2<=a<=9 ・・・(3)

また、題意より[pqr]<=[xyz]のみを考えればよく、その場合
p≠xから、 p<=a/2 ・・・(4)

(1)~(4)を満たすa,b,c,p,q,r,x,y,zを見出せばよい。

なにしろコタエが多いので、できるだけ数式で解こうとしましたが、
以下の通り(1)~(5)の条件を満たす組み合わせ、ということを導く
までにとどまりました。力及ばずです。

プログラムを組んで数え上げたところ、168×2通り(×2は、
「●-○=△」と「●-△=○」をカウントするの意)のようです。



与式を、[pqr]+[xyz]=[abc]と表すことにする。
 ・[pqr]は、100,10,1の位がそれぞれp,q,rの3桁の数。
  値は=100p+10q+r
 ・p,q,r,a,b,c,x,y,zは、1~9のいずれかで互いに重複無。

このとき、ある位での足し算は、
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下の空欄を埋める問題です。
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数学に強い方よろしくお願いします。m(__)m

できれば考え方もよろしくお願いします。

Aベストアンサー

有りません。
問題を書き換えて、
ab×c=de+fg=hi
としたときに1~9までを順番に当てはめても解答がありませんでした。

ab×c=de , de+fg=hi
と式を2つに分けると
17×4=68 , 68+25=93
が成り立ちます。


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