素数と６ｎについて

素数と６ｎについて

高校時代に先生が
『７以降の素数は,±１すると
６の倍数になるが,ある素数から例外が出てくる…』

問：その例外の素数とは？

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#132116 回答日時： 2010/04/26 20:29

次のようにして例外はないことが証明されると思いますが、いかがでしょうか。

７以降の素数は,±１すると６の倍数になることを証明する。

7以降の素数は、すべて奇数だ。
(なぜならば、エラトステネスの篩で、2以外の数はすべて消されるから。)
よって、それ±１は、すべて偶数。
よって、７以降の素数±1が、3の倍数であることを示したい。
ここで、７以降の任意の素数をpとする。
pは3の倍数ではないことは、エラトステネスの篩で明らか。
3の倍数は、連続する3つの自然数に1つ出てくるから、
p-1、p、p+1
のいずれかが3の倍数。
しかし、pは3の倍数ではない。
だから、p±１のうち1つが3の倍数。

いかがでしょうか、私、間違ってますか？

この回答へのお礼

証明が 鮮やかです
しかも 私のような数学音痴でも分かりやすい。
２ｎ∩３ｎ …６ｎですね
ありがとうございました

お礼日時：2010/04/26 23:16

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/26 22:46

何で「５以降の素数」じゃなく、

あえて「７以降の素数」としてあるんだろう？
何か、ひっかけがあるのかな…

素数
　⇒　１とその数自身以外では割りきれない。
　⇒　２や３でも割りきれない。
　⇒　６で割った余りは０,２,３,４ではない。

とするのは、ちょっと早計で、正確には

素数
　⇒　１とその数自身以外では割りきれない。
　⇒　(その数自身が２でなければ)２で割り切れず、
　　　(その数自身が３でなければ)３で割りきれない。
　⇒　(その数自身が２か３でなければ)
　　　６で割った余りは０,２,３,４ではない

であるから、素数２と３だけが例外となりえる。

実際、
２を６で割った余りは２、３を６で割った余りは３で、
２と３が例外となっている。

この回答への補足

失礼しました
ところで
逆は 成り立ちますか？
６の倍数を±１すると,どちらかは素数…飛躍し過ぎ？

補足日時：2010/04/26 23:27

この回答へのお礼

私のケアレスミスです
ゴメンなさい
５以降ですね
ありがとうございました

お礼日時：2010/04/26 23:35

No.3 回答者： noname#132116 回答日時： 2010/04/26 20:35

NO.2です。

少し補足します。

７以降の素数は,±１すると６の倍数になることを証明する。
→７以降の素数は,全て±１すると６の倍数になることを証明する。

なぜならば、エラトステネスの篩で、2以外の数はすべて消されるから。
→なぜならば、エラトステネスの篩で、2以外の偶数はすべて消されるから。

失礼しました。

この回答へのお礼

ぃぇぃぇ
わざわざ有り難うございました

お礼日時：2010/04/26 23:18

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2010/04/26 20:07

７以降の素数は,±１すると必ず６の倍数になりますよ。

６の倍数にならないのは、７未満の素数で、２と３だけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

どうやら 先生に担がれたょぅです。

お礼日時：2010/04/26 23:06