a>1/eのとき、lim[x->+0]x^alogx=0 を証明せよ。

a>1/eのとき、lim[x->+0]x^alogx=0 を証明せよ。


x^alogxをはさみうちして、０を示すのだろうということは予想できる。
x->+0より、x>0であるから、x^a>0,logx<0よって、x^alogx<0.
あとは、□<x^alogx<0 の左辺の□の部分を何にできるかであるが、見当が
つきません。どうやって、□をもとめたらよいか、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/28 14:26

y = -a log x で置換すると、

lim[x→+0] (x~a) log x = lim[y→+∞] (-y/a) / exp y.

exp y を、exp y ＞ 1 + y + (1/2)y~2
と評価すれば、ハサミウチができる。

この回答へのお礼

e^yが表れればなんとかなりそうな気がしますが、
y = -a log xと置換するのはむずかしい。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/04/28 16:51

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/28 19:52

z = log x で置換すると、

lim[x→+∞] (x~a) / log x = lim[z→+∞] (exp az) / z.

exp y ＞ 1 + y + (1/2)y~2
に y = az を代入すれば、
補足質問の極限が示せます。

この回答へのお礼

やっぱり、ここでもexp y ＞ 1 + y + (1/2)y~2
に持ち込むのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/04/30 09:39

No.2 回答者： univ-kyoto 回答日時： 2010/04/28 14:57

lim[x→+∞](x^a)/logx=+∞・・・(1)

x=1/tとおいて、
lim[x→+0](x^a)logx=lim[t→+∞](-logt)/t^a=-lim[t→+∞]1/(t^a/logt)ここで(1)より
-lim[t→+∞]1/(t^a/logt)＝０
よってlim[x→+0](x^a)logx＝０これでどうでしょうか？挟み撃ちは使ってませんが。。。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
lim[x→+∞](x^a)/logx=+∞・・・(1)
となる理由を示してもらえれば、いいと思うのですか・・・
（因みにロピタルは不使用とします）

補足日時：2010/04/28 16:58