テイラー展開がよく分かりません。

テイラー展開がよく分かりません。
ＧＷ中で大学が休みなので先生に質問に行けないのですが、
分からないと気持ち悪いし勉強が進みません。
展開公式の暗記ならできますが、、
本質的な意味が分かっていません。

が、「X＝ａのまわりでテーラー展開」の
(1)“ａ”がどこから出てきたのか　分かりませんし、
(2)“まわりで”という言葉　の使われ方のニュアンスも分かりません。

f(x)=f(a)+f'(a)・(x-a)+f''(a)/2!・(x-a)^2+f'''(a)/3!・(x-a)^3+f''''(a)/4!・(x-a)^4+…

(3)“(x-a)”？一体これは何の量でしょうか。
　　導出過程で否応なしに出てくるのは教科書で何となく分かりますが。
　　（高校でやった「定積分」では、∫記号の上下に“定数”がついてるものばかりでした。）

多分、頭の中に何のイメージも湧かないから分からないのです。
どなたか、適当な例でもとって、
グラフとかで視覚的イメージで教えて下るとわかるかもです（。><）

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/02 22:38

「ベキ級数の収束条件」「コーシーの判定法」「収束半径」

などについて復習すると確認できますが、
ベキ級数は、指数関数などの特殊な例を除いて、多くの場合、
変数の絶対値があまり大きくなると収束しません。

そのため、テイラー展開
f(x) = f(a) + f'(a)・(x-a) + f''(a)/2!・(x-a)^2 + …
が意味を持つのは、|x - a|がある程度小さい範囲だけです。

このことから、x が a の近辺にあるとき f を級数で表す
という気持ちをこめて、「a のまわりでテーラー展開する」
と言うのです。

No.5 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/05/02 00:16

＞(1)“ａ”がどこから出てきたのか　分かりませんし、

テーラー展開する目的はある曲線を多項式で近似することにあります。
展開して無限項まで求めることができれば、すべてのxで元の関数と展開式は一致しますが、
現実にテーラー展開を使う場面では有限項で打ち切ります。
１次まで、とか２次まで、３次までという具合に。

そうすると、打ち切った展開式はある狭い範囲でしか元の関数の
近似式として使えません。なので、近似式として扱える狭い範囲の中心を
どこにするかということが問題として浮上してきます。
この狭い範囲の中心がaで、aのまわりでテーラー展開しておけば、
少ない次数までの多項式で元の関数をaを中心とするこの範囲で近似できます。

＞(2)“まわりで”という言葉　の使われ方のニュアンスも分かりません。

ある関数f(x)を直線で近似することを考えます。
このとき、x=aのまわりの近似式がほしければ、
x=aで接線の方程式を求めればこれが近似直線になります。
もちろん、直線で近時できる範囲はx=aにごく近くに限られます。

この接線の方程式はどういうものになるかというと、
x=aでの曲線の傾きがf'(a)ですから、

接線(x)＝f(a) + f'(a) (x-a)

だというのはすぐに分かるでしょう。
で、この式、よく見ると、質問文にあるテーラー展開の式の
１次までで打ち切ったものに等しいことが分かります。
つまり、x=aで接線の式を求めるということは、

「x=aのまわりでテーラー展開」して１次の項までを取る

ことと同じです。さらに近似の精度を上げると、２次、３次と
次数が増えていきますが、同じように考えていけばいいです。

＞(3)“(x-a)”？一体これは何の量でしょうか。

元のテーラー展開の式

＞f(x)=f(a)+f'(a)・(x-a)+f''(a)/2!・(x-a)^2+f'''(a)/3!・(x-a)^3+f''''(a) /4!・(x-a)^4+…

で、x＝a+dxと置き換えてみると

f(x)=f(a+dx)=f(a)+f'(a)・dx+f''(a)/2!・(dx)^2+f'''(a)/3!・(dx)^3+f''''(a) /4!・(dx)^4+…

で、x-aはx=aからの外れを表しています。テーラー展開ではx=aでは必ず
元の関数の値f(a)に展開式の値は等しくなりますので、
x=aからどれだけ離れているかが問題になります。

No.4 回答者： banakona 回答日時： 2010/05/01 22:53

数学的に不正確で、荒っぽいけど次のような感じでいいと思う。

前後するけど（２）から。
ａ＝０の場合である「マクローリン展開」を考えてみる。

これは、関数ｆ（ｘ）のｘ＝０におけるｎ階微分係数が全て（！）分かれば、ｘ＝０からかけ離れた点のｆ（ｘ）の値を、ｘの多項式で表すことができるということ。

つまり、ｆ（０）、ｆ'（０）、ｆ''（０）、・・・が分かれば、ｆ（ｘ）の値（ｘ≠０）の値も分かる。「ｘ＝０の周辺の点」の値が分かるので「ｘ＝０のまわりで・・・」と表現した。また、あまりかけ離れると、不連続になったり発散したりするかもしれないので、「ｘ＝０の近くで」という意味合いもあるかもしれない（「まわりに」はあまり食いつく所ではないと思う。さらりと流してほしい）

次に（１）。
マクローリン展開は「ｘ＝０のまわり」だったけど、同じことをｘ≠０の場合でも考えることができる。例えば、ｘ＝２なら最初に－２だけ平行移動して、マクローリン展開すればいい。ｘ＝２以外にも、微分係数が分かる所ならどこでもいい。そこで、これらを一般化して「ａのまわりで」とした。別にｂでもｃでも良かったんだけど、いきなりこれらを出すよりも最初なのでａにした。

（３）　ｘ＝ａ（ａ≠０）のまわりで展開する場合は、－ａだけ平行移動したので、ｘのべき乗ではなく（ｘ－ａ）のべき乗で表現される。

こんなところで、どうでしょう。

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2010/05/01 21:54

x-a=Δx,f(x)-f(a)=Δy

Δy=f'(a)Δx+(1/2!)f''(a)(Δx)^2+(1/3!)f'''(a)(Δx)^3+…

No.2 回答者： hugen 回答日時： 2010/05/01 21:52

x-a=Δx,f(x)-f(a)=Δy

Δy=f'(a)Δx+(1/2!)f''(a)(Δx)^2+(1/3!)f'''(a)(Δx)^3+…

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/05/01 21:32

多項式でどんどん近似してると思いなはれ。