雨粒が完全に地面を濡らすまでの時間

Question

雨粒が完全に地面を濡らすまでの時間

雨の降り始めは、所々に地面が濡れ、いつのまにか地面全体が濡れていきます

この様子をモデル化して、
雨粒の1粒が地面を濡らす面積がｓ、形は円
雨粒は全て均一
雨粒が落ちる箇所は、完全にランダム
雨粒が落ちる頻度は、単位面積・単位時間あたりn個
とすると、
雨粒が完全に地面を濡らしきるまでの時間は、どのように表されるのでしょうか？

昔から疑問に思っていましたが、私の数学力では全然歯が立ちません

よろしくお願いします

tgb · Accepted Answer

ANo.6とANo.9の一致に関して新しく分かったことがあるのでコメントします。

この問題に対する解法として一方は確率の問題として解く(確率解法)のに対し、他方は物理的なプロセスとして解いている(プロセス解法)のに結果としては一致したわけですが、何が共通するのか考えてみました。
　そこで目をつけたのが濡れない確率の値としての( 1-s/L)です。これは見方を変えると重なりがない場合(最初の一粒)の濡れていない部分の減少率でもあるわけです。これを手がかりとして、プロセス解法では最初から微分方程式を導くようにしていますが、比較のために１粒１粒による変化の計算に置き換えてみました。

最初に濡れた部分がr0=0、濡れていない部分が1-r0=1として
i粒目が落ちてri-1　->　riになったとします。
i粒目が地面に落ちる時濡れていない部分と濡れた部分に落ちる割合の比を微分による場合と同じく面積比で振り分けると、濡れていない部分の変化は
　(1-r_i)=(1-r_(i-1))-(s/L)(1-r_(i-1))
　　　　　=(1-s/L)(1-r_(i-1))
従って(1-r_i)は等比数列となり
　(1-ri)=(1-r0)(1-s/L)^i
これから
　ri=1-(1-s/L)^i
となり、これは確率解法の
　c(t) = 1 - (1-s/L)^(nLt)
と一致します。

つまり、濡れる確率と濡れる面積の割合を同一視して濡れない面積の割合の変化を追跡すれば確率の変化と面積の変化が等価となることを表しており、一致することは自然な帰結と言うことになります。

noname#137826 · Answer

#13の続きです。

> 雨粒が領域全面に落ちるまでを１つの確率事象と考える場合、降雨継続時間は事象ごとに異なることになり、質問者さんが求めたいと考えている降雨曲線(降雨開始から全面が濡れるまでの被覆率の関数形)が各事象ごとに与えられる降雨曲線とどのような関係になるか分からなくなります。
(#9 tbgさんの回答)

私自身#6の回答を書いた時には明確に認識していなかったのですが、質問に対する回答は(少なくとも)2つあるように思います。

・地面が濡れた割合(被覆率)の期待値の時間変化を求める
・地面全体が濡れるまでの時間の期待値を求める

前者は#6で私が試みたものです。後者は「雨粒が領域全面に落ちるまでを１つの確率事象と考え」て、「降雨継続時間」(濡らしきるまでの時間)の期待値を求めることになると思います。

> さいころの場合の「すべての数が少なくとも一回出現するために必要な試行回数の期待値」を求める
(#8 htms42さんの回答)

と仰っているのは、後者を求めようとする試みなのだと思います。

> ANo.6の考えは要約すると
(#9 tbgさんの回答)

#11で私が追加の記述を書く前でしたので、若干の誤解を含んでいます。

> ・全体を雨粒１つの大きさの区画に分ける(分けたと解釈できる)

違います。区画と仰るのであれば、雨粒一つの大きさではなく、微小領域dxdyです。

> ・時刻ｔにおいて濡れている区画数の割合(被覆率)は１区画のｔにおける[濡れている確率]に等しい

これは分かりにくい表現でした。より正確には、#13の冒頭に書いた通りです。その根拠は#11に書いた通りです。

> 例えば６個のさいころを振る場合１の出る確率はどれも1/6なので、実際に行った試行に対して１が出るのは６個のうちの1/6なので１個と言うことになりますが正しくは試行に依存して変化します。

これは、私が「被覆率」を詳細に記述しなかったことで、誤解を招いてしまったものと思います。「被覆率の期待値」と読み替えてくだされば問題ないと思います。

> 最終の結果を見るとANo.6の結果と完全に一致しているので少し考えてみました。
(#9 tbgさんの回答)

一致するのは面白いと思い、私も考えてみました。

tbgさんは、モデルをより詳細にしたことでMVX250F001さんのオリジナルにさらに仮定を追加しています。また、数式の導入に際しても、私は用いていないある種の仮定を入れています。しかし、結果は同じになる・・・おそらく、期待値を求めるということであれば、それらの操作は許されるということなのでしょうか。

noname#137826 · Answer

#6, #7, #11 kaorineです。

#6で私が書いた「被覆率」は「被覆率の期待値」とでも言うべき量です。(以下ではこのように書くことにします。) #11にも書きましたが、より正確には、

「時刻 t までに雨粒で覆われている面積の全領域に対する比の期待値」

です。私自身の詰めが甘く、これをしっかり書かなかったためにわかりにくい回答になったと反省しております。これを踏まえた上で、いくつかコメントです。

> 数学的には、無限時間じゃないと完全に濡れきらないということでよろしいでしょうか？
(#6 へのMVX250F001さんのお礼)

ある程度の時間が経てば、ほとんどの場合では全面が濡れていると考えてよいでしょう。しかし、いつまで経っても濡れない領域が存在する「病的な」可能性が確率的には存在するために、「被覆率の期待値」は有限時間では1になりません。

#11 で私が出した「1億回さいころを振っても6つの数字がそろわないこともあります」というのは、この病的な可能性の例になっています。計算してみると、「1億回さいころを振る」試行を10^(8×10^6)回程度繰り返すとそのようなことが起こるというもので、実際にはこれはあり得ないと考えてよいでしょう。

> ランダムにこだわり、確率を持ち込んだために、「アキレスと亀」のパラドックスに陥っています。
> 何時間雨が降り続けようとも地面がぬれきら無い可能性を維持する違和感は回答者自信もお持ちのことと思います。
(#10 Sinogiさんの回答)

私は違和感を持っていません。雨粒のように個数が多い場合には特に、長い時間が経過した後でも地面が濡れ切らない確率は極めて低いものであり、それは現実には起こらないと考えても差し支えなくなるからです。（違和感を持つかどうかは、こうした考え方に慣れているかどうかだけの問題かもしれません。）

上記の「1億回さいころを振っても6つの数字がそろわない」ような、実際にはあり得ない可能性を端的に表した表現は「チンパンジーがタイプライターを打ち続けると、いつかはシェイクスピアを書く」というものです。（「アキレスと亀」は無限の取り扱いについて示唆するものであり、この場合には当てはまりません。）

> 雨粒が領域の片側だけに落ちると言うことも小さい確率ではあっても可能であり、この場合全面が濡れるまでの時間は無限大と言うことになります。
(#9 tbgさんの回答)

誤解があります。ある時間が経過するまでに領域の片側だけに雨粒が落ちる確率は、極めて小さいながら非零の確率があります。しかし、雨粒の落下がランダムであれば、無限時間の経過後には全領域が雨粒で濡れます。(私が#6で出した式において、無限時間経過後の「被覆率の期待値」が1になることの表現の一つです。) いつまで経っても領域の片側にしか雨粒が降らないというのは、ランダムとは言いません。

（長くなったので続きます。)

htms42 · Answer

kaorine様

いくつかおかしなことを書いていたようです。
すぐに訂正すればよかったのにそのままになっていました。
申し訳ありません。

特に
> これは同じ場所が重複して選ばれるということはないというのが前提になっているように思います。

の部分はおかしいですね。
自分で「１０回さいころを振れば６つの数字のうち５つは出ているということが期待できる」と書いているのですから当然重複があることが分からなければいけないのです。重複がなければ５回で済むはずなんですから。

６つの数字の中の５つが出ると期待される回数が１０回でした。
これがどの程度ゆらぐのかなということが知りたかったのです。
６にこだわる必要はありませんので１０個の数字でやってみました。
９個の数字が出ると期待される回数は２２です。
９個の数字が出現するときの回数と１０個全部が出そろうまでの回数を調べたりしていました。
どちらもかなりゆらぎます。
１０個の数字で考えるというのは雨の粒による濡れの大きさと地面の面積の比が１０ということです。
この比を変えずに落ちる場所の数だけを増やしてみます。
濡れの領域の重なりを認めるということです。
この場合の方がゆらぎが小さくなるだろうと期待したのですがあまりはっきりとした結果は得られていません。

noname#137826 · Answer

#6, #7です。

#8の方が私の回答へ疑問を呈しておられるので、それについてのコメントになります。

> １つの目の出る確率は１／６です。
> ある特定の数字（たとえば６）が出ない確率は５／６になります。
> １０回さいころを振って６が一度も出ないという確率は（５／６)^10です。

仰るとおりです。

> この時、他の5つの数字は出ているとしていいのでしょうか。

10回さいころを振って6が1度も出ない確率は（5／6)^10 です。この確率と、「10回さいころを振って6が1度も出ず、かつ、他の目が少なくとも1回は出ている確率」と混同されていませんか？両者は異なります。

> 違うような気がします。

「ような気がする」ではなく、どこがなぜ違うとお考えになるのかご指摘くださると幸いです。

> ｋａｏｒｉｎｅ様の計算では
>「ある一つの場所が既に濡れている確率は被覆率に等しい」
> と考えておられます。
> これは同じ場所が重複して選ばれるということはないというのが前提になっているように思います。

「」内の記述が誤っているとその後の議論は意味をなさないので、最初に回答を書く前に私も考えました。正しいと結論するに至った道筋は以下の通りです。

任意のある場所が時刻 t までに濡れている確率を p(t) とします。雨粒は均一であり、落ちる場所は完全にランダムですから、この確率はどこでも同じです。この p(t) を用いて、被覆率は

c(t) = ∫p(t)dr / L

と表されます。被覆率が意味するところは、時刻 t までに雨粒で覆われている面積の全領域に対する比の期待値、です。(被覆率が意味するところのこの記述をしっかりと書くべきでした。) 積分は領域 L 内について行います。そして、

c(t) = p(t)

となります。つまり、「任意のある場所が既に濡れている確率は被覆率に等しい」です。

ポイントとなるのは、雨粒は均一で落ちる場所は完全にランダムであることだと思います。これにより、被覆率という全体に関する量が、ある場所が濡れたかどうかという局所的な量に帰着され、その場所だけを考えればよいことになります。

「同じ場所が重複して選ばれる」というのは、同一箇所に2度雨粒が落ちる、あるいは、異なる2つの箇所に落ちた雨粒によってある場所が2度濡らされる、ことを指しているのだと解釈します。

これは考慮に入っています。降り始めから時刻tまでの間のいつ濡れたのか、周囲のどこに雨粒が降ったことによって濡れたのか、何度濡れたのか、それらは問題にしません。いつでもよく、どこでもよく、何度でもよいのです。とにかく、時刻 t までにある場所が濡れたかどうかを考えています。

> ６つの数字のうち５つは既に出ていると考えていいだろうという意味になります。

10回の試行により出た数字の種類の平均が5程度と言う方が正確です。つまり、10回の試行を何度も繰り返し、種類の平均を取ると、5.03に近づいていくということです。

> １０回の試行で出現した数字の数　　　　５　　　４　　　３　　５　　　５

5回の繰り返し(乱数の系列の個数が5)が十分大きな数であるとは思いませんが、数字の数5の出現回数が最も多いのはそれらしいように見えます。

> ６つの数がそろうのに必要な試行回数に２倍の違いがあります。

もっと繰り返せば(乱数の系列を増やせば)、最大と最小では2倍以上の試行回数になりますよ。6つの数字がそろうのは確率的な事象なのですから。確率は極めて低いですが、1億回さいころを振っても6つの数字がそろわないこともあります。

> さいころの場合のように区画ｙの数の少ない場合に当てはまるかどうかも「？」です。

なぜ？なのでしょうか？

Sinogi · Answer

ランダムにこだわり、確率を持ち込んだために、「アキレスと亀」のパラドックスに陥っています。
何時間雨が降り続けようとも地面がぬれきら無い可能性を維持する違和感は回答者自信もお持ちのことと思います。

こんな場合、モデルを最小化または最大化に局限すると考えやすくなることがあります。

ここでモデル前の前提として、

・方眼紙のような地面に方眼紙の目のような雨粒が落ちてくる。
・雨粒は全て地面におち、一切地面の外にはでない
・雨はランダムではなく一様に落ちてくる
としておきます。

モデル１：地面Ｓに0.5Ｓの雨粒が１秒に１粒落ちてくるとします。
こうすれば粒数と秒は一致するので少し考えやすくなります。

ここで全ての地面Ｓを濡らすのに必要な雨粒は　Ｓ÷0.5Ｓ=2　　簡単ですね。

でも、前提を踏まえたうえで２粒というのは特別だと感じますね
そこで
モデル２Ａ：地面Ｓに0.5Ｓの雨粒が１秒に１粒落ちてくる。雨粒は0.1重なる
とすると
１粒目で濡れるのは0.5Ｓ　　　　　　　
２粒目で濡れるのは0.5Ｓ×（1-0.1）＝0.45Ｓ　　合計0.5Ｓ+0.45ｓ=0.95Ｓ　なので全ては濡れていない
３粒目で濡れるのは0.5Ｓ×（1-0.1）＝0.45Ｓ　　合計0.95Ｓ+0.45ｓ=1.4Ｓ　なので全て濡れた

モデル２Ｂ：地面Ｓに0.5Ｓの雨粒が１秒に１粒落ちてくる。雨粒は0.6重なる
１粒目で濡れるのは0.5Ｓ　　　　　　　
２粒目で濡れるのは0.5Ｓ×（1-0.6）＝0.2Ｓ　　合計0.5Ｓ+0.2ｓ=0.7Ｓ　なので全ては濡れていない
３粒目で濡れるのは0.5Ｓ×（1-0.6）＝0.2Ｓ　　合計0.7Ｓ+0.2ｓ=0.9Ｓ　なので全ては濡れていない
４粒目で濡れるのは0.5Ｓ×（1-0.6）＝0.2Ｓ　　合計0.9Ｓ+0.2ｓ=1.1Ｓ　なので全て濡れた

と考えることができます。

これを式にしてみます。
雨粒0.5Ｓを　ｓ　重なりを　ｒ　とすると
２粒目以降で濡れるのは　（1-ｒ）×ｓ
→（Ｓ-ｓ）÷（（1-ｒ）×ｓ）　の雨粒で全て濡れます。雨粒は整数なので少数域は切り上げです。

上の式は２粒目以降なので、　
全て濡れるのに必要な雨粒は　（Ｓ-ｓ）÷（（1-ｒ）×ｓ）+1

Ｓ=1
s=0.5
r=0
とすると

（1-0.5）÷（（1-0）×0.5）+1=2

Ｓ=1
s=0.5
r=0.1
とすると

（1-0.5）÷（（1-0.1）×0.5）+1=2.111・・・・

Ｓ=1
s=0.5
r=0.6
とすると

（1-0.5）÷（（1-0.6）×0.5）+1=3.5

となり上記モデル1　モデル２を全て満たします

このように単純なモデルから順次条件を付加して必要なパラメーターを設定し、立式していきます。
その際、上位モデルは下位モデルを満たすことは当然です。

tgb · Answer

この問題では１粒の雨がどこに落ちるかが確率的に決まるとするモデルはあまり適当ではないように思えます。
この考え方をすると例えば、雨粒が領域の片側だけに落ちると言うことも小さい確率ではあっても可能であり、
この場合全面が濡れるまでの時間は無限大と言うことになります。更に、雨粒が領域全面に落ちるまでを１つの確率事象と考える場合、降雨継続時間は事象ごとに異なることになり、質問者さんが求めたいと考えている降雨曲線(降雨開始から全面が濡れるまでの被覆率の関数形)が各事象ごとに与えられる降雨曲線とどのような関係になるか分からなくなります。

そこで次のような考え方はいかがでしょうか。
　対象となる地面の領域に対してそこから上空に向かって立ち上がる柱体の空間を考えます。この空間内の上空部分に一様かつランダムに雨粒が分布している状態を想定します。一様というのは空間内のどの一定の大きさの立方体を考えても雨粒の数が一定数であると言うことです。またランダムというのは雨粒が格子点上に置かれているのではなくそこから少しずつ様々にずれていることを示します。
　一様かつランダムというのは考える立方体のサイズを小さくすると矛盾を生じることになりかねませんが話が成立するような適当なサイズを考えることとします。この点では完全なモデルではなくいい加減な要素を含むことになります。
　このように設定された雨粒が地面に向かって落ちて行って地面をぬらすとします。この場合、雨粒は一様に分布しているので地面はあくまで一様に濡れて行き、場所的に偏った濡れ方はしません。また、ランダムに配置されていた雨粒が落ちていくので時間の経過と共に落ちる位置が少しずつずれて行き、雨粒が同じ位置に落ちるという意味での偏りもありません。
　このとき、地面に落ちる雨粒は既に濡れている場所に落ちる場合とまだ濡れていない場所に落ちる場合とがありますが、この配分はどうなるでしょうか？　ここで一様かつランダムの仮定に基づいて以下のように考えます。
　新しく落ちる雨粒は一様かつランダムであるので地面の小さい特定の部分(小さい濡れた部分と小さい濡れていない部分)を考えると１つ１つの雨粒がどちらに落ちるかは対等と考えられ、全体としては両者の面積比に応じて決まるとするのが妥当と考えられます。
　また、単位時間に落ちる雨粒の量は一定とすることができ、この雨粒は短い時間の間では重なって落ちることはないと仮定することができます。これは柱体を水平にスライスしたとき、スライス面上でくっついた雨粒や極端に近づいた雨粒がないと仮定することに対応し、妥当と考えられます。

そこで、経過時間tにおいて、濡れた部分がr1=r、濡れていない部分がr2=1-rとし、単位時間当たりに[地面に落ちたときにr0の面積の割合になる]雨粒が落ちていくとすれば、dtの間での新たに濡れた部分の面積の割合の増加量drは地面を濡らす可能性のある雨粒の面積(r0dt)の内の濡れていない部分に落ちた面積の寄与によって決まるとして、
　dr=r0dt・(r2/(r1+r2))　　(※r0dtとしたのは雨粒が重ならないことに対応)
　　=r0(1-r)dt
これから
　r=1-exp(-r0t)
ここでr0は
　r0=ns

最終の結果を見るとANo.6の結果と完全に一致しているので少し考えてみました。
ANo.6の考えは要約すると
・全体を雨粒１つの大きさの区画に分ける(分けたと解釈できる)
・どの区画にも等しい確率で雨粒が落ちて濡れていく
　１回の雨粒の滴下の各区画の確率は等しい(確率の値は面積比率)
　時刻ｔにおいて各区画が濡れている確率は等しい
・時刻ｔにおいて濡れている区画数の割合(被覆率)は１区画のｔにおける[濡れている確率]に等しい
となると思います。
このうち、最後については問題ありと考えます。念のため、最後の主張を元の表現で表すと「被覆率はある任意の場所が時刻 t までに雨粒で濡れている確率に等しくなります」
となります。
これに従うと、例えば６個のさいころを振る場合１の出る確率はどれも1/6なので、実際に行った試行に対して１が出るのは６個のうちの1/6なので１個と言うことになりますが正しくは試行に依存して変化します。
　ただ、論理としては認められないとしても近似として考えた場合、上のような考え方が感覚的には大きな相違を生むような結果に至ることはないように思えます。私のモデルにも近似の導入が多くあるので最終的な一致はあり得ることなのかも知れません。

htms42 · Answer

＃２、＃５です。
確率の計算が苦手ですのでごてごてとやっています。

さいころの場合、
１つの目の出る確率は１／６です。
ある特定の数字（たとえば６）が出ない確率は５／６になります。
１０回さいころを振って６が一度も出ないという確率は（５／６)^10です。
この時、他の5つの数字は出ているとしていいのでしょうか。
違うような気がします。
ｋａｏｒｉｎｅ様の計算では
「ある一つの場所が既に濡れている確率は被覆率に等しい」
と考えておられます。
これは同じ場所が重複して選ばれるということはないというのが前提になっているように思います。またさいころの場合のように区画ｙの数の少ない場合に当てはまるかどうかも「？」です。
その意味でもさいころの場合の「すべての数が少なくとも一回出現するために必要な試行回数の期待値」を求める計算式が知りたいと思っています。

ｋａｏｒｉｎｅ様の計算式をさいころに当てはめてみます。
１０回の試行での被覆率は１－(５／６)^10　です。
区画が６つあります。
６×（１－(５／６)^10）＝６×（１－０．１６１５）＝６×０．８３８５＝５．０３
です。６つの数字のうち５つは既に出ていると考えていいだろうという意味になります。

乱数を振って数字の出方を調べてみました。
乱数の系列を５つ作りました。
１０回の試行で出現した数字の数　　　　５　　　４　　　３　　５　　　５
６個の数字が出そろうまでの試行回数　１１　　１４　　１４　１２　　２１

６つの数がそろうのに必要な試行回数に２倍の違いがあります。

式との対応をどういう風に考えていいのかはまだよく分かっていません。

noname#137826 · Answer

#6です。

実際に数字を入れて計算する部分(グラフ)に誤りがありました。
同じ前提で計算しなおしたものを添付します。

・30秒で被覆率0.5
・180秒で被覆率0.99

です。

数学的(確率的)には、有限時間では完全に濡れ切らない可能性がある、ということだと思います。実際には、適当な時間が経過すれば、ほとんどの場合で完全に濡れ切っているわけです。

noname#137826 · Answer

降り始めからの時刻 t における地面の雨粒による被覆率 c(t) を考えてみます。(被覆率 = 1 が「完全に濡らしきった」状態になります。)

まず、十分広い領域 L (L >> s) を想定して、この領域における被覆率を考えます。
雨粒が落ちる場所は完全にランダムですから、被覆率はある任意の場所が時刻 t までに雨粒で濡れている確率に等しくなります。ですから、

c(t) = (ある場所が時刻 t までに濡れている確率)
     = 1 - (ある場所が時刻 t までに濡れずにいる確率)

となります。

ここで、雨粒一粒である場所が濡れる確率は s/L ですから、濡れない確率は 1-s/L です。そして、単位時間当たり nL 個の雨粒が降ってきますから、時刻 t においてある場所が濡れていない確率は (1-s/L)^(nLt) になります。

したがって、

c(t) = 1 - (1-s/L)^(nLt)

となります。
最後に、L が無限大の極限を取り、求める被覆率は

c(t) = 1 - e^(-nst)

と得られます。

無限時間が経過しないと被覆率が1にならないのは、雨粒に覆われずに残る領域が極僅かながら確率的には存在しうることに対応しています。

現実にありそうな数字を当てはめてみましょう。

・10cm×10cm の領域内に1秒当たり3粒の雨粒が落ちてくる
・雨粒の大きさは直径1cm

とします。すると、

n = 3/100 [個/cm^2/秒]
s = 0.25π [cm^2]

です。このときの被覆率の時間変化を計算すると添付図のようになります。

・約1分半後に半分が雨粒で覆われる(94秒で被覆率0.5)
・4分後には8割以上が覆われる (被覆率0.83)
・10分後の被覆率は0.99

実際には、降った雨粒が蒸発する、あるいは地面にたまる、等の効果がありますから計算通りにはならないでしょうが、感覚的にはいい線行ってる気がしませんか？

雨粒が完全に地面を濡らすまでの時間

ANo.6とANo.9の一致に関して新しく分かったことがあるのでコメントします。

#13の続きです。

#6, #7, #11 kaorineです。

kaorine様

#6, #7です。

ランダムにこだわり、確率を持ち込んだために、「アキレスと亀」のパラドックスに陥っています。

この問題では１粒の雨がどこに落ちるかが確率的に決まるとするモデルはあまり適当ではないように思えます。

＃２、＃５です。

#6です。

降り始めからの時刻 t における地面の雨粒による被覆率 c(t) を考えてみます。

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