雨粒が完全に地面を濡らすまでの時間

雨粒が完全に地面を濡らすまでの時間

雨の降り始めは、所々に地面が濡れ、いつのまにか地面全体が濡れていきます

この様子をモデル化して、
雨粒の1粒が地面を濡らす面積がｓ、形は円
雨粒は全て均一
雨粒が落ちる箇所は、完全にランダム
雨粒が落ちる頻度は、単位面積・単位時間あたりn個
とすると、
雨粒が完全に地面を濡らしきるまでの時間は、どのように表されるのでしょうか？

昔から疑問に思っていましたが、私の数学力では全然歯が立ちません

よろしくお願いします

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2010/05/14 16:50

＃２です。

数字を書き間違いました。
１ｍ×１ｍの区画の中にある１ｃｍ×１ｃｍの区画は１００ではありません。１００×１００－１００００個です。
考え方は同じです。
ついでですから「中心が任意であるとすると難しくなる」と書いたことについて説明します。

雨の粒の広がりは１ｃｍ×１ｃｍのままとします。
でも雨粒の中心の位置は１ｍｍ×１ｍｍの区画で決まると考えてみてください。雨でぬれていく部分の判定が少し面倒になるのが分かります。１ｃｍ×１ｃｍの四角の位置を中心で決めるのが面倒であれば端で決めればいいです。１００ｃｍ×１００ｃｍの端にくるとはみ出してしまいます。その場合は反対側の端に移して考えます。もっと大きな、同じようなことの起こっている地面から１００ｃｍ×１００ｃｍの区画を切り出して考えているということで隣の区画で起こっているものを移してきたと考えるのです。（９統計力学の計算などではこういう扱いは「周期的境界条件」という名前で呼ばれています。）

こういう風にして濡れた所の区画に付けてある番号を読み取っていけば前の問題と同じです。
でも数字だけを抜き出して考えるという前の扱いはできなくなります。２次元という特徴が残るからです。

２次元という特徴はさいころを２回振って数字のセットを作り縦の位置、横の位置を決めると考えれば表すことができます。６×６の升目全部が埋まるのに何回さいころを振ればいいかです。
２と５が出れば縦が２、横が５の位置です。
もしこの時に縦の２と３、よこの５と６の４つの区画を塗りつぶせば雨の位置を決める区画よりも雨粒の広がりの方が大きいという場合に対応します。
２と６が出た時は塗りつぶすのは縦が２と３、横が６と１です。

No.4 回答者： noname#152421 回答日時： 2010/05/14 13:18

#3です。

すみません、下の回答は間違いでした。無視してください。
100分の1の面積のものを68個落としても100個埋まるはずないから明らかに変ですね。

出直してきます。。。

No.3 回答者： noname#152421 回答日時： 2010/05/14 13:07

> 雨粒が落ちる頻度は、単位面積・単位時間あたりn個

考えやすくするために、前提に少し変更を加えます。
考える地面の範囲をXとし、その面積を1とします。
単位時間に1粒ずつXのどこかを濡らしていくとします。

> 雨粒が落ちる箇所は、完全にランダム

これをどう解釈するかですが、任意のY⊂Xについて、雨粒の中心位置がYに属する確率をYの面積に等しいと考えることにします。


さて、k粒目（k時間後）に初めてXがすべて濡れる状態について考えます。
それはすなわち、Xの中の1点aについて、

・j粒目（j=1,2,...,k-1)ではaが濡れない
・k粒目でaが濡れる

と解釈して、j粒目（j=1,2,...,k-1)が落下する範囲は、その中心が中心a半径r（πr^2=s)の円板の外部に含まれ、k粒目の中心はその円板に含まれると考えます。

すると、k粒目（k時間後）に初めてXがすべて濡れる確率がp(0≦p≦1)以上になる条件は

1-(1-s)^(k+1)<p≦1-(1-s)^k

を満たすkを探すことに相当すると考えられます。
これを変形して、

(log(1-p))/(log(1-s))-1<k≦(log(1-p))/(log(1-s))

を満たすkが求める時間ということになります。

たとえば、

雨粒1粒がぬらす範囲が全体の100分の1で、50%以上の確率で全範囲が初めて濡れるのは68粒目。

雨粒1粒がぬらす範囲が全体の10000分の1で、50%以上の確率で全範囲が初めて濡れるのは6931粒目。

雨粒1粒がぬらす範囲が全体の100分の1で、90%以上の確率で全範囲が初めて濡れるのは229粒目。

雨粒1粒がぬらす範囲が全体の10000分の1で、90%以上の確率で全範囲が初めて濡れるのは23024粒目。

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2010/05/14 09:18

考え方について書いてみます。

地面を埋めていく形が円だということと円の中心の位置が任意だということがあると難しくなります。
少し変更します。

１ｍ×１ｍの正方形を１ｃｍ×１ｃｍの正方形に分けます。１００個の区画ができます。
ランダムにこの区画のどれかを選んでいくとします。全部濡れたというのは１００個の区画のすべてが選ばれたということです。ほしいのは「選ぶ回数は何回ぐらいであればいいのか」ということです。
こういう風に考えると「区画」を考える必要はないということが分かります。
１から１００までの数字を選ぶというのでも同じです。
１００という数字をはずしても考え方は同じだということにもなります。
さいころを振って１から６までの数字が出そろうまでには最低さいころを何回ぐらい振ればいいかというのでも同じです。これならやってみることもできます。同じ目が何回も出てくることが起こりますから６回以上であることは確実ですね。
確率の計算についての本を見ればこういうことについての説明と例題は見つかるのではないでしょうか。そうやって計算した値（期待値）とやってみた結果と付き合わせるというのも面白いだろうと思います。

ｅｘｃｅｌでも乱数を扱うことができるでしょうからやってみることができるでしょう。

さいころでやる場合でも乱数でやる場合でもゆらぎがあります。
期待値は確率的なものです。期待通りにいかない場合が起こります。そこで期待した通りにならない場合の起こる率をある値以下に小さくすることで「ほぼ確実に実現する」という数字を得ることができます。
１００個の数字の場合であれば１００個全部が出現していなくてもかまわない、９９個出てくれば１００個出たのと同じように扱うとすると合いやすくなるかもしれません。

雨の場合のイメージがあるので広い範囲（区画数の多い場合）でやってみたいというご希望があるかもしれません。そういう場合は完全に埋まるというのはなかなか実現しないということが起こってしまうかもしれません。
「全部濡れた」という「全部」に幅を持たすことが解決策だろうと思います。これは区画の数をある程度以上大きくしないというのと同じでしょう。

推測で書いていますので間違っているかもしれません。
確率に詳しい型の回答があるだろうと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

少しだけわかった気がします

サイコロを振って、1～6の目が少なくとも1回は出揃う

これは、回数をどんなに増やしても、確率的には100％に限りなく近づくが、100％には達しない
・・・

お礼日時：2010/05/14 23:42

No.1 回答者： Sinogi 回答日時： 2010/05/14 08:52

そこまでモデル定義してるなら純粋に論理思考すれば良いだけじゃないですか?

単位を明確にすればわかりやすいですよね


雨粒の1粒が地面を濡らす面積がｓ(m^2)/個
雨粒が落ちる頻度は、単位面積・単位時間あたりn個/(m^2・秒）

単位面積・単位時間あたりに濡れる面積は ns（ｍ＾2）/（ｍ＾2・秒）

ね、後は簡単でしょ?

おまけ
雨粒の重なり率を　0＜ｒ＜1　として、重なり率を考慮したら
単位面積・単位時間あたりに濡れる面積は ns×（1-ｒ）　（ｍ＾2）/（ｍ＾2・秒）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

雨粒がランダムに落ちる場合は、rの値をいくつにすればいいのかが要だと思いますが、全くわからない次第です

お礼日時：2010/05/14 23:37