サイコロを繰り返し振って1の目がr回連続して出るまでの振る回数の期待値

（１）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「1の目が」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値に興味を持っています。

また問題文を少し変更したものにも興味があります。
（２）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「どんな目でもいいので」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。

（３）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「1の目が」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。

（４）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「どんな目でもいいので」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。

nに関する漸化式を立てようとしたのですが、ややこしくてうまくいきません。
ご存知の方は教えていただけないでしょうか?

写像で言うと次のような写像（数列）における性質を考えています。
f:{1,2,3,…}→{1,2,3,…,m}

No.4 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2008/06/28 12:08

#2の回答を踏まえると、r=2の時

・・・11
となった瞬間に終わることが分かるはずです。このとき、
・・・
部分には…11…となる部分を含みません。したがって
q(n) = [1 - Σ_{k=1, n} q(k-2)] * (1/m)^2
となるはずです。つまり、[1-{q(0)+q(1)+...+q(n-1)}]の確率で n-1 個目がひけて、それが1であり、かつ最後(n個目)が1である確率ということです。
(1/m)^2をかけたものになる、ということです。

あとはこの数列を、q(0)=q(1)=0 として解けば良いでしょう。

これをrを2よりも大きくしても解くことはできると思いますが、計算は結構大変です。

因みに＃1は、ポアソン分布を使うということで結局は同じ事をしています。


(2)は、n-1個目が何でも良いので、
q(n) = [1 - Σ_{k=1, n} q(k-1)] * (1/m)
となり、n個目がひけて、その最後の1個がn-1個目と同じである確率を求めれば良いことになります。


(3)は、n>=rは自明なので、k<rではp(k)=0は良いと思います。そして、最後の n 回目には 1 が来ることも良いと思います。
したがって、例えばr=2 のとき
...1....1
となります。つまり、n-2個ある...の部分に1が入らない確率を求めれば良いわけです。その確率は(1 - 1/m)^(n-2)です。このn-2個の中の数字の列の間に、1 がr-1個（一個は最後のn個目に指定されているので）が挟まれば良く、挟まることの出来る場所は n-r+1 個あります。途中で連続していても良いので、同じ場所に複数個挟まっても構わないのは分かると思います。
したがって、n個目で終わる確率は
q(n) = [(n-r+1)^(r-1) (1 - 1/m)^(n-r)] * (1/m)^r
となります。

(4)についても(3)と同じで解ける、はず、なのですが、計算が大変すぎてどうにもなりません。数値的に解いた方が、おそらく早いでしょう。

No.5 回答者： sdfsdhsdfs 回答日時： 2008/07/16 14:16

類題を。

コインを続けて投げ、表が連続して２回出たらストップする。
n回目でストップするときの確率は?

ｎ回目で
Ａ(n)：表が出てストップした確率
Ｂ(n)：表が出たがストップしない確率
Ｃ(n)：裏が出た確率
とします。ｎ回目とn+1回目の関係は
　Ａ(n+1)＝Ｂ(n)×(1/2)
　Ｂ(n+1)＝Ｃ(n)×(1/2)
　Ｃ(n+1)＝(Ｂ(n)＋Ｃ(n))×(1/2)
の関係があります。これより、
　Ｃ(n+2)＝(Ｂ(n+1)＋Ｃ(n+1))×(1/2)＝(Ｃ(n)×(1/2)＋Ｃ(n+1))×(1/2)
より、
　Ｃ(n+2)＝Ｃ(n+1)×(1/2)＋Ｃ(n)×(1/4)
ここで、Ｆ(n)＝Ｃ(n)・2^n とおくと、
　Ｆ(n+2)＝Ｆ(n+1)＋Ｆ(n)
という、フィボナッチ数列の漸化式になります。
同様に、Ｄ(n)＝Ａ(n)・2^n、Ｅ(n)＝Ｂ(n)・2^n とおくと、
　Ｂ(n+1)＝Ｃ(n)×(1/2)
より、両辺に2^(n+1) を掛けて、
　Ｂ(n+1)・2^(n+1)＝Ｃ(n)・2^n
よって、
　Ｅ(n+1)＝Ｆ(n)
すなわち、
　Ｅ(n+3)＝Ｆ(n+2)＝Ｆ(n+1)＋Ｆ(n)＝Ｅ(n+2)＋Ｅ(n+1)
のように、Ｅ(n) もフィボナッチ数列の漸化式になります。
同様に、Ｄ(n) もフィボナッチ数列の漸化式になります。
（厳密には、Ｅ(n+3)＝Ｅ(n+2)＋Ｅ(n+1) は、２項目以降のＥ(n)に
ついてしか言えていませんので、個別に、E(3)＝E(2)＋E(1)
を示す必要はあります。D(n) も同様です)

Ｄ(1)＝０，Ｄ(1)＝１ より、Ｄ(n) は、こちらに掲載された
一般項を持ちます。
これを、2^n で割ったものが、A(n) となります。

No.3 回答者： nyhc-bm 回答日時： 2008/06/27 18:56

＞（４）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。

＞「どんな目でもいいので」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。
＞n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。

n回目にやめる確率をp(n,m,r)とします。
p(n,m,r)は x の多項式
(n-1)!*(1/m^(n-1))*({Σ[k=0,r-1](x^k)/(k!)}^(m-1))*((x^(r-1))/(r-1)!)
のx^(n-1)の係数に等しいです。

一般に、{Σ[k=0,r](x^k)/(k!)}^mを展開したときの(x^n)/n!の係数をF(n,m,r)とすると、
F(0,k,r)=1,F(k,1,r)=1 (for all k)
F(a,b,r)=Σ[i=0,min(a,r)]comb(a,i)*F(a-i,b-1,r).

p(n,m,r)=F(n-r,m-1,r-1)*comb(n-1,n-r)*(1/m^(n-1)).

たとえば、
p(120,10,20)=0.012277931398105679378125649320215047…
p(1000,12,100)=0.0069342586619249159018260188475202466…

この回答へのお礼

みなさま、回答ありがとうございます。
でも、けっこう複雑で、すぐには理解できません。
どなたか、整理していただけますと助かります。

お礼日時：2008/06/28 01:15

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/06/26 12:35

（１）

１の目がｒ回連続して出ても、やめずにサイコロを振り続けることを考えます。
１回目からｎ回目までの間に１の目がｒ回以上続けて出る確率を q(n) とし、
ｎ回目に初めて１の目がｒ回連続となる確率を p(n) とします。
求めたいものは、p(n) と Σ[n=0..∞] n p(n) ですね。

ｎ－１回目までにｒ回連続は起こらず、ｎ回目までにはｒ回連続が起こった
とすれば、丁度ｎ回目にｒ回連続が生じたことになります。
q(n) - q(n-1) = p(n).

また、丁度ｎ回目にｒ回連続が生じるのは、
１回目からｎ－ｒ－１回目までにｒ回連続が起こらず、ｎ－ｒ回目は１の目でなく、
ｎ－ｒ＋１回目からｎ回目までは全て１の目が出る場合です。
p(n) = { 1 - q(n-r-1) } { (m-1)/m } (1/m)^r.

両式から一度 p( ) を消去し、両辺の階差をとって p( ) の式にすれば、
p(n) - p(n-1) + p(n-r-1) (m-1)/{m^(r+1)} = 0.
これは、定係数斉次線形漸化式（いわゆる「線形漸化式」）ですから、
解析的には解けます。この漸化式の特性方程式
x^r - x^(r-1) + (m-1)/{m^(r+1)} = 0 のｒ個の解 x = λ_k を使って
p(n) = Σ[k=1..r] (c_k)(λ_k)^n （c_k は初期条件できまる定数）です。

ただし、λ_kを具体的に求めるにはｒ次方程式を解かなくてはならないので、
代数的には易しくありません。ｒ≧５であれば、たぶん無理でしょう。

No.1 回答者： at9_am 回答日時： 2008/06/26 08:03

全部答えるとルール違反なので概要だけ。

(1)
1がr回連続で出る確率は
(1/m)^r
です。
したがって、n>=r のとき、
n-r 回目までで1がr回連続で出ずに、その後(1/m)^rの事象が起こることになります。これは、ポアソン分布を使えば簡単に求めることが出来ます。

(2)
どんな目でもr回連続で出ればよいということですから、
(1/m)^(r-1)
の確率の事象になります。あとは(1)と同じです。

(3)
n 回目に止める確率は、二項分布を使って
nCr (1/m)^r ((m-1)/m)^n-r
と記述できます。この確率分布から n の期待値を求めることはそんなに難しくはないですが、計算は面倒です。

(4)
この問題は、激しく面倒くさい気がするので、パソコンで数値計算が一番楽な気がします。