(1)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「1の目が」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値に興味を持っています。
また問題文を少し変更したものにも興味があります。
(2)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「どんな目でもいいので」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。
(3)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「1の目が」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。
(4)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「どんな目でもいいので」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。
nに関する漸化式を立てようとしたのですが、ややこしくてうまくいきません。
ご存知の方は教えていただけないでしょうか?
写像で言うと次のような写像(数列)における性質を考えています。
f:{1,2,3,…}→{1,2,3,…,m}
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#2の回答を踏まえると、r=2の時
・・・11
となった瞬間に終わることが分かるはずです。このとき、
・・・
部分には…11…となる部分を含みません。したがって
q(n) = [1 - Σ_{k=1, n} q(k-2)] * (1/m)^2
となるはずです。つまり、[1-{q(0)+q(1)+...+q(n-1)}]の確率で n-1 個目がひけて、それが1であり、かつ最後(n個目)が1である確率ということです。
(1/m)^2をかけたものになる、ということです。
あとはこの数列を、q(0)=q(1)=0 として解けば良いでしょう。
これをrを2よりも大きくしても解くことはできると思いますが、計算は結構大変です。
因みに#1は、ポアソン分布を使うということで結局は同じ事をしています。
(2)は、n-1個目が何でも良いので、
q(n) = [1 - Σ_{k=1, n} q(k-1)] * (1/m)
となり、n個目がひけて、その最後の1個がn-1個目と同じである確率を求めれば良いことになります。
(3)は、n>=rは自明なので、k<rではp(k)=0は良いと思います。そして、最後の n 回目には 1 が来ることも良いと思います。
したがって、例えばr=2 のとき
...1....1
となります。つまり、n-2個ある...の部分に1が入らない確率を求めれば良いわけです。その確率は(1 - 1/m)^(n-2)です。このn-2個の中の数字の列の間に、1 がr-1個(一個は最後のn個目に指定されているので)が挟まれば良く、挟まることの出来る場所は n-r+1 個あります。途中で連続していても良いので、同じ場所に複数個挟まっても構わないのは分かると思います。
したがって、n個目で終わる確率は
q(n) = [(n-r+1)^(r-1) (1 - 1/m)^(n-r)] * (1/m)^r
となります。
(4)についても(3)と同じで解ける、はず、なのですが、計算が大変すぎてどうにもなりません。数値的に解いた方が、おそらく早いでしょう。
No.5
- 回答日時:
類題を。
コインを続けて投げ、表が連続して2回出たらストップする。
n回目でストップするときの確率は?
n回目で
A(n):表が出てストップした確率
B(n):表が出たがストップしない確率
C(n):裏が出た確率
とします。n回目とn+1回目の関係は
A(n+1)=B(n)×(1/2)
B(n+1)=C(n)×(1/2)
C(n+1)=(B(n)+C(n))×(1/2)
の関係があります。これより、
C(n+2)=(B(n+1)+C(n+1))×(1/2)=(C(n)×(1/2)+C(n+1))×(1/2)
より、
C(n+2)=C(n+1)×(1/2)+C(n)×(1/4)
ここで、F(n)=C(n)・2^n とおくと、
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
という、フィボナッチ数列の漸化式になります。
同様に、D(n)=A(n)・2^n、E(n)=B(n)・2^n とおくと、
B(n+1)=C(n)×(1/2)
より、両辺に2^(n+1) を掛けて、
B(n+1)・2^(n+1)=C(n)・2^n
よって、
E(n+1)=F(n)
すなわち、
E(n+3)=F(n+2)=F(n+1)+F(n)=E(n+2)+E(n+1)
のように、E(n) もフィボナッチ数列の漸化式になります。
同様に、D(n) もフィボナッチ数列の漸化式になります。
(厳密には、E(n+3)=E(n+2)+E(n+1) は、2項目以降のE(n)に
ついてしか言えていませんので、個別に、E(3)=E(2)+E(1)
を示す必要はあります。D(n) も同様です)
D(1)=0,D(1)=1 より、D(n) は、こちらに掲載された
一般項を持ちます。
これを、2^n で割ったものが、A(n) となります。
No.3
- 回答日時:
>(4)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
>「どんな目でもいいので」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。
>n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。
n回目にやめる確率をp(n,m,r)とします。
p(n,m,r)は x の多項式
(n-1)!*(1/m^(n-1))*({Σ[k=0,r-1](x^k)/(k!)}^(m-1))*((x^(r-1))/(r-1)!)
のx^(n-1)の係数に等しいです。
一般に、{Σ[k=0,r](x^k)/(k!)}^mを展開したときの(x^n)/n!の係数をF(n,m,r)とすると、
F(0,k,r)=1,F(k,1,r)=1 (for all k)
F(a,b,r)=Σ[i=0,min(a,r)]comb(a,i)*F(a-i,b-1,r).
p(n,m,r)=F(n-r,m-1,r-1)*comb(n-1,n-r)*(1/m^(n-1)).
たとえば、
p(120,10,20)=0.012277931398105679378125649320215047…
p(1000,12,100)=0.0069342586619249159018260188475202466…
みなさま、回答ありがとうございます。
でも、けっこう複雑で、すぐには理解できません。
どなたか、整理していただけますと助かります。
No.2
- 回答日時:
(1)
1の目がr回連続して出ても、やめずにサイコロを振り続けることを考えます。
1回目からn回目までの間に1の目がr回以上続けて出る確率を q(n) とし、
n回目に初めて1の目がr回連続となる確率を p(n) とします。
求めたいものは、p(n) と Σ[n=0..∞] n p(n) ですね。
n-1回目までにr回連続は起こらず、n回目までにはr回連続が起こった
とすれば、丁度n回目にr回連続が生じたことになります。
q(n) - q(n-1) = p(n).
また、丁度n回目にr回連続が生じるのは、
1回目からn-r-1回目までにr回連続が起こらず、n-r回目は1の目でなく、
n-r+1回目からn回目までは全て1の目が出る場合です。
p(n) = { 1 - q(n-r-1) } { (m-1)/m } (1/m)^r.
両式から一度 p( ) を消去し、両辺の階差をとって p( ) の式にすれば、
p(n) - p(n-1) + p(n-r-1) (m-1)/{m^(r+1)} = 0.
これは、定係数斉次線形漸化式(いわゆる「線形漸化式」)ですから、
解析的には解けます。この漸化式の特性方程式
x^r - x^(r-1) + (m-1)/{m^(r+1)} = 0 のr個の解 x = λ_k を使って
p(n) = Σ[k=1..r] (c_k)(λ_k)^n (c_k は初期条件できまる定数)です。
ただし、λ_kを具体的に求めるにはr次方程式を解かなくてはならないので、
代数的には易しくありません。r≧5であれば、たぶん無理でしょう。
No.1
- 回答日時:
全部答えるとルール違反なので概要だけ。
(1)
1がr回連続で出る確率は
(1/m)^r
です。
したがって、n>=r のとき、
n-r 回目までで1がr回連続で出ずに、その後(1/m)^rの事象が起こることになります。これは、ポアソン分布を使えば簡単に求めることが出来ます。
(2)
どんな目でもr回連続で出ればよいということですから、
(1/m)^(r-1)
の確率の事象になります。あとは(1)と同じです。
(3)
n 回目に止める確率は、二項分布を使って
nCr (1/m)^r ((m-1)/m)^n-r
と記述できます。この確率分布から n の期待値を求めることはそんなに難しくはないですが、計算は面倒です。
(4)
この問題は、激しく面倒くさい気がするので、パソコンで数値計算が一番楽な気がします。
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