重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。

重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。
球面x^2+y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=axで切りとられる部分の曲面積を求めよ（a>0)
自分の解法は
　z(>0)について解いてz=√（a^2-x^2-y^2）,積分領域D:x^2+y^2＜＝axの上にある曲面積を２倍して
Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
求める曲面積s=２∬D　√（１＋Zx^2＋Zy^2)dxdy
ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くとJ=r,積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ）ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a^2[θ＋cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π　となったのですが、解答は
D:x^2+y^2＜＝a^2,y>=0の上にある曲面積を４倍して求めていて、
S=４∫∫D a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
ここでx=rcosθ,y＝rsinθと置いて、M:０<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2
S=4∫（０→π/2)∫(0→acosθ）r/√(a^2-r^2)drdθ
=4a^2[θ+cosθ](0→π/2)=4a^2(π/2-1)

となって答えが違ってしまうのですが、何故だかわかる方がいたら助けてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/05 20:56

>Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より

間違い。
Zx=-x/√(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/√(a^2-x^2-y^2)

>求める曲面積S=２∬[D] √(1+Zx^2 +Zy^2)dxdy
>ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くと|J|=r,
>積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
>S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ）ar/√(a^2-r^2)drdθ
S=2∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ）ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a∫(-π/2→π/2)[-√(a^2-r^2)](r:0→acosθ）dθ
=2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ

>=2a^2[θ＋cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π　となったのですが、
間違い。√(1-(cosθ)^2)=|sinθ|とすべき所を　=cosθとして間違った。
=2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ
偶関数の対称区間での積分なので
=4(a^2)∫(0→π/2)(1-sinθ)dθ
=4(a^2)[θ+cosθ](θ:0→π/2)
=4(a^2){(π/2)-1}
これは解答と一致しています。

>解答は
>D:x^2+y^2＜＝a^2,y>=0の上にある曲面積を４倍して求めていて、
>S=４∫∫D a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
>ここでx=rcosθ,y＝rsinθと置いて、M:０<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2
>S=4∫（0→π/2)∫(0→acosθ）r/√(a^2-r^2)drdθ
>=4a^2[θ+cosθ](0→π/2)=4a^2(π/2-1)

>となって答えが違ってしまう
θ:-π/2～π/2のとき
√{1-(cosθ)^2}=|sinθ|
上のθの範囲ではsinθは正にも負にもなります。それを単に「sinθ」としてしまったのが
間違いの原因ですね。
θ<0では　√{1-(cosθ)^2}=-sinθ
θ>0では　√{1-(cosθ)^2}=sinθ
としないといけません。

この回答へのお礼

なるほど！ありがとうございました。

お礼日時：2010/06/05 22:48

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2010/06/05 01:19

∫(0→acosθ）ar/√(a^2-r^2)dr

の部分の積分の計算が違っている。
a^2・(θ＋cosθ)ではなくa^2・(θ-sinθ)となる。
θの範囲を(-π/2→π/2)でとっているので求める曲面積s=２∬D　√（１＋Zx^2＋Zy^2)dxdy
で良いと思う。

θの範囲を(0→π/2)でとれば曲面積s=4∬D　√（１＋Zx^2＋Zy^2)dxdyとなる。

この回答への補足

2∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ）ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a∫(-π/2→π/2)[-√(a^2-r^2)](0→acosθ）dθ
＝2a∫(-π/2→π/2)(-asinθ＋a)dθ
＝2a^2[θ+COSθ](-π/2→π/2)
=2a^2(π/2+0+π/2+0)=2a^2π
となったのですが・・

補足日時：2010/06/05 11:32