数学 組み合わせ?の問題 1,1,2,3,3
上記の5つの数字を並び替えたいのですが、
何パターンあるでしょうか?
答えは30通りだと思うのですが、
地道に樹形図をつくってやってみました。
しかし、例えば、1,2,3,を並び替える場合、・・・(1)
3*2*1=6通り
といったように、簡単に計算できます。
あるいは、例えば、1,1,1,2,2を並び替えるなら、・・・(2)
5P2=(5*4)/(2*1)=10通り
といったように同じく容易に計算できます
このように簡単に計算したいのですが・・・
よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
A、B、C、D、E
の5つの箱を並べる順列は
5! = 5x4x3x2x1 = 120 通り
さて、
A と B に 1の2つが入っていた場合、
AとBをこっそりと入れ替えても、中身見ても誰も気付きませんね。
つまり、
1、1、2、3、4 を箱に入れる時、
箱の並び順 箱を開けた時の中身
ABCDE 11423
BACDE 11423
で同じです。
EADCB 41321
EBDCA 41321
も同じです。
つまり 同じものが2つあるなら その2つの順列、
2! = 2 通り
だけ重複している、ということですね。
120 ÷ 2 = 60 通り
さて、
1、1、2、3、4 ではなく、
1、1、2、3、3 を箱に入れる時、で考え直します。
3の2つの 順列は?
2! = 2 通り
です。
A と B に 1の2つ が入っていた場合に限定しましょう、
さらに C と D に 3の2つ が入るとします。
CとDをこっそりと入れ替えても、中身見ても誰も気付きませんね。
ABCDE 11332
ABDCE 11332
で中身は同じです。
CEADB 32131
DEACB 32131
も同じです。
ここで
ABCDE 11332
BACDE 11332
ABDCE 11332
BADCE 11332
の違いまで考えると樹形図になって混乱します。
発想は逆です。かけ算ではなく割り算です。
全部違うと 120 通り
ABの中身が同じなら 120 ÷ 2 = 60 通り
ABの中身が同じもとで
CDの中身が同じなら 120 ÷ 2 ÷ 2 = 30 通り
そこで、1通りのことも 1! 通りと表すと、
5 文字の中に (5!)
1 が 2つ、 (2!)
2 が 1つ、 (1!)
3 が 2つ、 (2!)
の答えは、公式らしく表して
5! ÷ (2!x1!x2!) = 120 ÷ 4 = 30 通り
以上が答えです。
(ご質問では 5C2 を 5P2 と書き間違っておられますね)
二度と忘れないために応用しましょう。
9 文字の中に (9!)
P が 4つ、 (4!)
Q が 3つ、 (3!)
R が 2つ、 (2!)
あるとすると、
もはや樹形図で解くのは現実的ではありません。
答えは?
9! ÷ (4!x3!x2!) = 362880 ÷ (24x6x2) = 1260 通り
実際の試験では時間が限られているので
9! ÷ 4! = 9x8x7x6x5
6x2 と約分して 9x4x7x5
少し順番変えて 9x7x2x(2x5) = 63 x 2 x 10 =1260
とします。
一般式に置き換えると、
P が p個、 (p!)
Q が q個、 (q!)
R が r個、 (r!)
あると、
合計の文字数は
p+q+r 文字 ((p+q+r)!)
だからその並べ方は
(p+q+r)! ÷ (p!xq!xr!)
です。
p=2
q=1
r=2
とすれば
30
が求められます。
大学入試でよくあるのは PHOTOGRAPH とかですね。
10! ÷ (2!x2!x2!x1!x1!x1!x1!)
です。
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