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射影変換について

射影変換とはどのような変換なのでしょうか?
調べた限りでは、線形変換+遠近法を合わせた物で直線は直線を保つ変換とあるのですが
漠然としていてよくわかりません。
具体的には正射影なども射影変換の一つだと有りました。

Webで検索したのですが、定義など理解出来る物がありませんでしたのでご質問させて頂きました。

また、Webでは写真撮影が射影変換の例だと述べられていました。
私の認識では、同一集合への写像の場合に変換と言うと認識しています。
写真撮影は3D→2Dの写像だと思うのですが、これも変換と成るのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

A 回答 (2件)

No.1の者である。


失礼ながら、返答が遅れてしまった。

>例えば高次関数などが1次関数に変換されるといったイメージでしょうか?
確かに、そうした変換の中にも射影変換になるものがある。
例えば、高次式
f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ...
を、x の2乗以上の項を切り捨てた
P{f(x)} = a + bx
に写す変換は、P[P{f(x)}] = a + bx なので、射影変換である。

>なぜ写真は、「3次元の空間内に存在するもの」と解釈されるのでしょうか?
はっきり言うと、この例えは混乱を引き起こすので、質問者には良くなかったのかもしれない。
でも一応説明しておくと、数学では、3次元空間の中にある図形は、平面でも直線でも1つの点でも、「3次元空間内の存在」と見なすのである。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
>数学では、3次元空間の中にある図形は、平面でも直線でも1つの点でも、
>「3次元空間内の存在」と見なすのである。
理解しました。

1点不明な点があるのですが、
>例えば高次関数などが1次関数に変換されるといったイメージでしょうか?
>確かに、そうした変換の中にも射影変換になるものがある。
射影変換とならない場合も有るのでしょうか?
高次関数を1次関数とする様な変換は全て射影変換であると理解しています。

また、射影変換の例など写真撮影以外にありましたら教えて頂けると有り難いです。
以上、よろしくお願い致します。

補足日時:2010/06/26 20:22
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射影変換とは、簡単に言えば「P^2 = P となるような変換P」のことだが、なるほどこれでは分かりにくい。



そこで、「一回この変換を行なってしまうと、あとは何回同じ変換を行なっても変わらないような変換」と考える。
例えば正射影なら、ちょうど日光に物体が照らされているような状況を考える。すると、この物体を、この物体が地面につくる影の形に写す変換(つまり、『物体→影』の変換)が正射影である。
さて、この影(の形の物体)がつくる影を考えると、やはり元の影と同じ形の影ができるはずである。よって、これは変換1回目と2回目の結果が同じになるので、射影変換である。

写真撮影についても言っておく。
まず、写真というのは2次元に見えるかもしれないが、3次元の空間内に存在するものなので、これは「3次元空間内の物体が3次元空間内の物体に変換される」という意味で、「同一集合への写像」である。
これが射影変換であることは、写真を撮影しても、同じ写真ができる(原理的にはという話で、実際には劣化などが起こり得る)ことより分かる。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

>「P^2 = P となるような変換P」
については、例えば高次関数などが1次関数に変換されるといったイメージでしょうか?

写真撮影に関しては、3次元を写真(平面)に変換することからやはり3D→2Dのイメージなのですが、
なぜ写真は、「3次元の空間内に存在するもの」と解釈されるのでしょうか?

理解不足で申し訳ないのですがご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2010/06/22 01:30
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