Sku

ゴルゴ１３という漫画で以下の数式が出てきました。これらは実在するのですか。実在するのならどういう意味なのかを高校レベルくらいで教えてください。

１）
m^(p-1)modP=1
Ｍφ(n)＝１(mod n)
(P!)p=(p-1)=-1（modP）

２）
Sku e,N(X)=X^e mod N
Sku-1　e,N(C)=X^d mod N

よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： daimaoh 回答日時： 2003/07/12 14:02

漫画では，「400年間，世界の謎とされたフェラーの定理」というように，デフォルメされているので，なんともいえないのですが，

1)φはオイラー関数という関数で，p,q,r,…が異なる素数なら
φ(p)=p-1,φ(pq)=(p-1)(q-1),φ(pqr)=(p-1)(q-1)(r-1),…
という値をとります(例：φ(15)=(3-1)(5-1)=8)。
M^{φ(n)}=1 (mod n)ですね。(例：1^8=2^8=4^8=7^8=8^8=11^8=13^8=14^8=1mod15)
また，ウィルソンの定理は，(p-1)!=-1 mod p です（例：4!=24=-1mod5)。

2)Skuというのは，漫画に出てくる佐久シゲル教授の名前と推測されますが，実際は現在最も一般的な（すなわち安全と評価されるのですから最終暗号です）RSA暗号のようですね。それは，

ア）受信者は大きな素数p,qを選び，ed=1 mod φ(pq) となるedを選びます。
イ）N=pqとeを公開します(p,q,dは非公開）。
ウ）送信者はXを送りたいときに，X^e mod N を送ります。
エ）受信者は受け取ったCに対し，自分しか知らないdを使って，C^d mod N を計算しXを取り出します。
C^d=(X^e)^d=X^{ed}=X^1=X mod N　ここで，1)の２番目の公式を使いました。

一般に，これはdを知らないと元に戻せない，
←　φ(N)が分からないとdが分からない
←　Nが素因数分解できないとφ(N)が分からない
ということからp,qを大きければ安全（受信者だけにXが伝わる）という訳です。

したがって,漫画は間違っていて，
Sku^{-1} e,N(C)=C^d mod N が正しい。

うーむ，高校レベルかなぁ・・・？？？
詳しくはRSAで検索してみましょう。

No.4 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/07/15 19:04

どうも。

読んでみました。
けど、新しい小ネタは披露できそうにないので
佐久教授の話をします。

おそらく佐久教授のモデルはポールエルディシュです。
webで探してもいいページがないですが、
かなりの奇人だそうで、どこにいるかが
いつも把握できなかったそうです。
で、自分の金を問題の懸賞金にしていました。
おしくも数年前に亡くなりました。

ただし、紫暗号とエルディシュは(おそらく)関係ないです。
紫暗号開発もそれなりの数学の素養が必要なので
当時の日本では有名な数学者だったはずなんですけど、
これもweb上には情報がないです。

No.2 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/07/11 12:03

マンガ/ドラマ/小説にでてくる数学/物理の知識にツッコミをいれるのが趣味です。

何巻に出てますか?検討してみます。
このへんの式は暗号に使われているので
そういう話のときに出てきたんだと思いますが。

表現は間違っていますが、
m^(p-1)modP=1 フェルマーの小定理
Ｍφ(n)＝１(mod n) オイラーの定理
(P!)p=(p-1)=-1（modP） ウイルソンの定理
と呼ばれているものに相当するんじゃないでしょうか。

この回答への補足

１２９巻です。おっしゃるとおり暗号に使われています。作中では２）を使うと解読不可能な暗号が誰でも作れるとなっています。

補足日時：2003/07/11 20:28

No.1 回答者： noname#7693 回答日時： 2003/07/11 00:41

1)についてのみ

実在はすると思います。
中国の剰余定理というので調べればあるかもしれません。
ただ私も習って間もないので意味までは…。

とりあえずmodの使い方だけでも…
整数a,bとmについて、aとbがmで割ったときのあまりが等しいとき
a≡b mod m
と書きます。

φは多分写像の事なのではないでしょうか？

私はこれを大学の講義で習いました。
高校生レベル…
頑張って勉強して下さい(^_^;)