lim {(1+1/x)^x / e}^x (x →∞）は何になるの

lim {(1+1/x)^x / e}^x (x →∞）は何になるのでしょう

lim (1+1/x)^x = e (x →∞）ですよね。
極限値であるeで割った値のｘ乗の極限はいったい何になるのでしょう。
(1+1/x)^xは単調増加なので、比は常に１未満、そのｘ乗も常に１未満なので、極限は１か０になると思うのですが、わかりません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/30 11:44

まず, 「比は常に１未満、そのｘ乗も常に１未満なので、極限は１か０になると思う」というのは勘違いです. (1-1/x)^x を考えてみてください.

本題に関しては 1/√e に収束するはず.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
>極限は１か０になると思う」というのは勘違いです.
書き間違いしました。「極限は１か０の間になると思う」でした。

＞本題に関しては 1/√e に収束するはず.
すいません、導き出せません。

お礼日時：2010/07/02 06:55

No.2 回答者： noname#113983 回答日時： 2010/06/30 12:45

こんなふうに考えてみな。

俺もあんま自身ねえけど。
f(x)=log{(1+1/x)^x / e}^x=x{xlog(1+1/x)-1}とする。
今f(x)の1回微分
f'(x)=2xlog(1+1/x)-(x/x＋1)-1 について考察する。
xを無限大に吹っ飛ばすとf'(x)は2(e-1)に収束する。これは明らかに0より大きな
値だからf(x)は正か負の無限大 に発散する。ところが((1+1/x)^x)/eは0以上1未満の値だ。
よって{(1+1/x)^x / e}^xをxについて十分大きく取っても1よりでかくなることはない。
だからf(x)は正の無限大に発散することはなく負の無限大に発散すると考えられる。
つまりもとの{(1+1/x)^x / e}^xは0に収束することが分かる。
(一言)
俺の今の説明どうも理論が不足しているなあ。微分可能性とか連続性も実は考えないといけないわけだし、勝手に微分して傾きがうんたらこうのだからですましているからもしかしたら間違っているかもしれない。なので今後訂正する可能性あるかもしれんことは頭に入れておけ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
考え方、参考になります。

お礼日時：2010/07/02 23:50

No.3 回答者： noname#113983 回答日時： 2010/06/30 12:48

さっそくしょっぱなのミス。

lim(x→∞)f'(x)＝0だ。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/30 14:02

h = 1/x で置き換えると見易くなる。

log(与式) を展開、整理して考えると、
与式 = exp( log''(1) ) であることが解る。
log(与式) を展開した式に
log(1+h) = h -(1/2)h↑2 + …
を代入すれば、話が早い。

この回答への補足

常識なのかも知れませんが、
「log''(1)」 がわからないのです。
ダッシュ’　は何を意味するのですか？　微分ですか？　
log(1) は０ですよね。
でも、log''(1)＝ -1/2ということですよね。訳わかりません（涙）

補足日時：2010/07/02 23:41

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞与式 = exp( log''(1) ) であることが解る。
せっかくお教えいただいた説明、私には全く理解できません・・
でも、ありがとうございます。

お礼日時：2010/07/02 16:42

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/30 21:19

#1さんの言われる

「1/√e」に収束します。

無限大ではわかり難いのでx→1/xとおけば x→∞は x→+0と置き換えられて
lim[x→∞] ((1+1/x)^x/e)^x = lim[x→+0]((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)
を考えればよい
f(x)=((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)のグラフを描くと x→+0のとき　f(x)→(1/√e)となることが確認できる。黒線がy=f(x)のグラフ、赤線がy=(1/√e)のグラフでf(x)はx=0で未定義ですがf(0)=1/√eと定義してやればf(x)は連続になると考えていいですね。

f(x)のx対数をとって考えると
log[((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=[(1/x)log(1+x)-1]/x
今、この極限を考えると
lim[x→+0] {(1/x)log(1+x)-1}/x
ロピタルの定理を適用して
=lim[x→+0] {(1/x)log(1+x)}'
log(1+x)をテーラー展開
=lim[x→+0] (1/x){x-(1/2)x^2+o(x^3)}'
=lim[x→+0] {1-(1/2)x+o(x^2)}'
=lim[x→+0] {-(1/2)+o(x)}
=-1/2

lim[x→+0]log[((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=-1/2=log(1/√e)

∴lim[x→+0] ((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=-1/2=1/√e

この回答へのお礼

ありがとうございます。
わかりました。

お礼日時：2010/07/02 23:49

No.6 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/30 21:42

#5です。

最後の行に誤植がありますので訂正します。
誤：∴lim[x→+0] ((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=-1/2=1/√e
正：∴lim[x→+0] ((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=1/√e

またグラフ添付を忘れましたので添付しておきます。

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/30 21:59

No.5+6 の人は、ヒントを理解したようですね。

いずれにせよ、No.1 で終わっている話ですが。

この回答へのお礼

＞いずれにせよ、No.1 で終わっている話ですが。
そういわずに、教えてください。値が知りたいだけではなく、その値になぜなるのかも知りたいので、No.1 の回答では、まだすっきりしないんです。

お礼日時：2010/07/02 16:44

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/30 23:46

最終的にマクローリン展開するなら, ロピタルは不要＞#5.

この回答へのお礼

おっしゃるとおりですね。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/07/03 13:49

No.9 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/02 22:25

←No.7 補足

その値になぜなるのかは、No.4 に書いておきましたよ？

変数を h = 1/x で置き換えると、
与式 = lim[h→0] { (1+h)^(1/h) / e }^(1/h)　となって、
log(与式) = lim[h→0] log { (1+h)^(1/h) / e }^(1/h)
　　　　　= lim[h→0] (1/h){ (1/h)log(1+h) - log e }。

この式に、log z の z = 1 でのテーラー展開
log(1+h) = 0 + h - (1/2)h^2 + o(h^2)　を代入すれば、
log(与式) = lim[h→0] (1/h){ (1/h){ h - (1/2)h^2 + o(h^2) } - 1 }
　　　　　= lim[h→0] { -1/2 + o(h^2)/h^2 }
　　　　　= -1/2。

すなわち、与式 = e^(-1/2)。

この回答へのお礼

再度、回答ありがとうございます。
なぞのlog''(1)がないので、今度はわかります！！
ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/02 23:53