同調回路の並列抵抗Rpについて教えてください。

Question

今勉強している本に、写真左のような同調回路があり、(2πfL/r >> 1)の時、写真右のような等価回路に書き直せると書いてあります。

ここで２つ質問があります。
コイルの抵抗分rが並列抵抗Rpに書き直せる理由が分かりません。
また、並列抵抗にRp=(ωL)^2/rという関係があるようなのですが、なぜそうなるのか分かりません。

ご存知の方、すみませんが教えてください。
よろしくお願いします。

vaguechat · Accepted Answer

C は同調回路のパーツとして回路に含まれているのでコイルの等価回路を考えているここでは考えず、
L と r の直列回路として表していたコイルを L と Rp の並列回路に置き換えることを考える。
角周波数を ω(= 2πf)、虚数単位を j とすると、L と r の直列回路のインピーダンス Z は Z = r + jωL である。
条件より 2πfL / r = ωL / r >> 1 であるから r / ωL ≒ 0 である。
したがってこの周波数領域では、
Z = r + jωL ≒ (r + jωL) / {1 + (r / ωL)^2} = (r + jωL) / {1 + r^2 / (ωL)^2}  ..... (1)
が近似的に成り立つ（1にほとんど0を足してもほとんど1）。
ここで、X = (ωL)^2 / r なるレジスタンス X を定義すると、
r = (ωL)^2 / X
r^2 = (ωL)^4 / X^2
なので、(1)式の r と r^2 を置き換えて、
Z ≒ {(ωL)^2 / X + jωL} / {1 + (ωL)^2 / X^2}
 = {X (ωL)^2 + jωL X^2} / {X^2 + (ωL)^2}   ..... 分子、分母に X^2 をかける
 = jωLX {X - jωL} / {X^2 + (ωL)^2}   ..... 分子の2項から jωLX を括りだす
 = jωLX / {X + jωL}   ..... 分子、分母を X - jωL で割る
 = 1 / {(1 / X) + (1 / jωL)}     ..... 分子、分母を jωLX で割る
すなわち、 Z をインピーダンス X と jωL の素子の並列回路全体のインピーダンスとして近似的に表すことができる。
X は定義により X = (ωL)^2 / r なので、これを並列等価抵抗 Rp と書けば、
L と r の直列回路として表していたコイルは ωL / r >> 1 の周波数領域では L と Rp = (ωL)^2 / r の並列回路として表せる。

実際のところは答が分かっているわけで、上の式の変形を逆方向にして、
並列回路のインピーダンス 1 / {(1 / Rp) + (1 / jωL)} を変形したものを
直列回路のインピーダンス r + jωL と比較してやればスムースだと思う。

vaguechat · Answer

あまり関係ないが補足。もしかすると ωL / r >> 1 ⇒ r / ωL ≒ 0 よりも、 ωL / r >> 1 ⇒ r / ωL << 1 なので 1 + (r / ωL)^2 ≒ 1 と書く方がよかったかも。

486HA · Answer

今から30年以上前、私の趣味はオーディオでした。
あなたの質問のようなLCR共振回路はオーディオの中でもテープ・レコーダーの録音用のイコライザーに用いられていて、
これを解析するために様々なプログラムを作成して解析しました。
LCRの定数からEQ回路の特性を売るのではなく、ある特性を得るためのLCR素子の定数を算出するというものでした。
　その中で、今回質問されている問題をロジックとして自己流で確立したものでした。
本棚を探してみたところ「1977年11月3日起草」と記したノートの中に、このプログラム集がありました。
このノートの中では「並列・直列」変換方法としてベクトル計算によって式を表しています。
　数式を記述しようと思ったのですが、この画面では他校の分数式を含むため断念しました。

同調回路の並列抵抗Rpについて教えてください。

あまり関係ないが補足。

C は同調回路のパーツとして回路に含まれているのでコイルの等価回路を考えているここでは考えず、

今から30年以上前、私の趣味はオーディオでした。

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