１．自然数nの正の約数において、１を含み、nを含まない約数の総和がnに

１．自然数nの正の約数において、１を含み、nを含まない約数の総和がnに等しいとき、nを完全数という。
(1)２０および２８は完全数かどうか調べよ。
(2)p,qを互いに異なる素数として、n=pqとおく。nが完全数のとき、pをqを用いて表せ。
　さらに、n=pqの形の完全数nを求めよ。
(3)pを素数として、n=p4乗とおく。このとき、どのような素数pに対してもnは完全数とはならないことを証明せよ。


２．次の３直線l,m,nで囲まれる三角形の周および内部の領域をＤとおく。
　　　l:3x-4y＋1=0
m:x-4y＋3=0
n:5x＋4y-33=0
(1) lとmの交点をA,mとnの交点をB,nとlの交点をCとおくとき、A,B,Cの座標を求めよ。
(2) 点(x,y)が領域Ｄ内の点であるとき、(x-3)2乗＋(y-1)2乗の最大値と最小値を求めよ。
　　また、最大値および最小値を与える点(x,y)も求めよ。
(3) 領域Ｄ内の点Ｐを中心とする半径１の円がある。点Ｐが領域Ｄ内のすべてを動くとき、円が通過する部分の面積を求めよ。



上記２問、どうしても解けません。
申し訳ありませんが、お助け下さい。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/19 11:13

こんにちわ。

それぞれの問題ともに、(1)から手が出ないのですか？
もしそうなのであれば、中学校の数学から見直す必要がありますよ。

何か「アイデア」はありませんか？
計算はできなくても、アイデアがあれば書いてみてください。
単に聞くだけでは、なかなか身につきませんよ。＾＾

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/19 11:17

１．

まず、(1) が自力でできたことを補足に示してください。
(1) が出来ないようなら、この問題は無理です。

(2) (3) は、とりあえず、n が完全数であることを使って、
n を p,q を用いた別の式で表す ことからです。

http://www.suriken.com/knowledge/glossary/sum-di …
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4314013.html

２．
これも、まず、(1) を自力で解くことからですね。
連立一次方程式を解くだけですからね。

(2) (3) は、その結果を使うから…

No.3 回答者： ri39rako 回答日時： 2010/07/19 12:25

回答者：alice_44様と回答者：naniwacchi様　どちらも本当のことと存じます。

お示しのＵＲＬを見ても私にも何がなんだかさっぱり判りません。
l:3x-4y＋1=0
m:x-4y＋3=0
n:5x＋4y-33=0
はそれぞれ
l:3x-4y=-1
m:x-4y=-3
n:5x＋4y=-33
となる事は判りますが私にも以前から三乗して１となる数を知りたいと思っているところです。
三乗して１となる数をXとすればX三乗－１＝０すなわちX三乗＝１までは判ります。
これを因数分解するとひとつは１、これは誰でも知っている事ですが、あと二つ＋－の虚数があるという事までしか知りません。
質問された方は、その解答方法と解答がほしいのです。
解答されたお二方に私も感謝いたします。どうか解答方法と解答をお教えいただければ幸いかと存じます。その他の方も教えてあげてください。

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/07/19 12:58

＞No.3

私にはあなたが何を言ってるのかわかりません．
どこから1の3乗根がでてくるのか・・・因数分解できるなら
あとは二次方程式の解の公式にいれれば虚数解がでてくるでしょう・・・

本題
1(1) これくらい自分で考えなさいよ．
問題文の意味が分かれば小学校レベルです
(2) n= pq でn が完全数なんだから
n=pq=(1+p)(1+q)-pq
よって，1+p+q=pq，つまり，p=(q+1)/(q-1)

さらに，p = 1 + 2/(q-1)
で，pは自然数だから q-1 は-1,-2,1,2のどれかであり
qは素数であるから，q=2または3なので(p,q)=(2,3),(3,2)
したがって，n=6

(3) n=p^4 で完全数なのだから
n = p^4 = 1+p+p^2+p^3 = (1-p^4)/(1-p)
よって
p^4(2-p)=1
これは明らかに自然数解をもたない

2に関しては・・・・計算はめんどいからしてないけど
(1) 連立方程式を三つきちんととけばいい（中学二年くらい）
(2) (1)でできた「三角形」の点で点(3,1)と一番近い点と遠い点を求めればいい
図を書けばできる．
(3) これも図を書けばいい．太いサインペンで三角形を書いたような
角の丸い三角形（三角形の陸上トラックのような形）の面積をもとればいい
外角の和が360であることを使えば解けるはず．

この回答へのお礼

回答してくださったみなさん、ありがとうございました。

１、(1)と(2)の最初は解くことが出来たのですが、次がどうしていいか分かりません・・・
前の答えを使おうと思っても分かりません

2、(1)は連立方程式で解けましたが、(2)は最大値を取るのが(3、1)のときだと思って解いて、最小値が分りません。

教えてください、よろしくお願いします

お礼日時：2010/07/19 16:19

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/19 22:16

#1です。

補足ありがとうございます。
やはり、解けているところもあったんですね。＾＾
いつも、前の小問の結果を利用するとは限りませんよ。

1-(3)
#４さんの書かれているとおり、まずは題意をそのまま式に書きましょう。
素数であることから、約数の和が「等比数列の和」として書くことができます。
証明自体は、背理法ですね。

2-(2)
(x-3)^2＋ (y-1)^2＝ k^2とでも置けば、円の方程式としてみることができますね。
（2乗+ 2乗なので、和は 0以上であることはいいですよね）
そうすれば、「線形計画法もどき」で考えられるようになります。

2-(3)
ポイントは「外べり」ですから、そこを考えればいいですよね。
土地のまわりに幅が一定の道路をつくるといった問題（中学数学あたりで出てくる）と考え方は同じです。


#４さんも丁寧に説明されているので、きちんと言葉や図を補いつつ考えてみてくださいね。＾＾