数学の連立方程式の問題です。

数学の連立方程式の問題です。
数学得意な方、まったく分からないので教えてください。
式と答え、考え方まで教えていただけるとうれしいです。


１）ある中学校で、花壇に４種類の花A,B,C,Dの苗を、合わせて２４０本植えた。この４種類の花の苗の数は、多いほうからA,B,C,Dの順であった。それぞれの苗の数をみると、Bの数はDの数の３倍、Cの数は全体の４分の１であった。また、AとDの数の差は、BとCの数の差の５倍であった。AとBの苗の数をそれぞれ求めなさい。


２）１２００lの水が入るタンクに、給水管が１本と、どれも同じ太さの排水管が３本ついている。給水管からタンクへは、つねに一定の割合で水が給水されている。いま、タンクには４００lの水が入っており、排水管を１本だけ開くと、２０分でタンクが満水になり、排水管を２本だけ開くと、５０分でタンクが満水になる。排水管３本開くと、何分でタンクが満水、または空になるか、求めなさい。


よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： oguro- 回答日時： 2010/07/23 23:12

（１）

その１：文章の通りに式にしていきましょう。
>A,B,C,Dの苗を、合わせて２４０本植えた
A+B+C+D=240　・・・(1)
>Bの数はDの数の３倍
B=3D　・・・(2)
>Cの数は全体の４分の１
C=240/4=60　・・・(3)
>AとDの数の差は、BとCの数の差の５倍
（A-D）=5（B-C）　・・・(4)
これを解いていきます。
(1)に(2)と(3)を代入します。
A+3D+60+D=240　・・・(5)
(4)に(2)と(3)を代入します。
（A-D）=5（3D-60）　・・・(6)
(5)と(6)の連立方程式として解きます。
(5)の展開：A+4D=180　・・・(5)’
(6)の展開：A-16D=-300　・・・(6)’
(5)’-(6)’：20D=480、D＝24
(2)から、B=72
(1)から、A=240-72-60-24=84

その２（別解）
ABCDがそれぞれ丁度1/4からどのくらい多くて、どのくらい少ないか考える。
Cは丁度1/4なので60本
Dは60本より少なく、AとBは60本より多い。
そこで、Dから減らした分だけ、AとBに加えて、全体の数が変わらないように調整してみる。
Aに60に加えて増やした分をX、Bに増やした分をYとすると、
A=60+X、B=60+Y、C=60、D＝60-X-Y　・・・(1)
AとDの差は、BとCの差の５倍なので
A-D＝（60+X）-（60-X-Y）＝2X+Y・・これが5Yと同じ。
つまり、2X+Y=5Y、整理すると、X=2Y
次に、BはDの3倍なので、B=3D、整理して、60+Y＝3（60-2Y）
なので、Y=12
X=2Yだから、X=24
(1)の関係から、A=84、B=72、C=60、D=24

（２）
給水管と排水管のそれぞれが、どのくらいの水を流しているか、が
分かればいいですね。なので、これをXとYにしてみましょう。
給水管：Xリットル/分で増える
排水管：Yリットル/分で減る・・・これは3本ある。
排水管を１つだけ開くと、20分で400リットルが1200リットルまで増える。
つまり、
400（元の量）+20X（増える量）-20Y（減る量）＝1200（20分後）
次にもう１つ開く。そうすると、今度は50分かかる。
400（元の量）+50X（増える量）-2*50Y（減る量）＝1200（50分後）
これらの式を整理します。
X-Y=40
X-2Y=16
X=64、Y=24
最後に３つの排水管を全部開くと
給水管から入ってくる量は64リットル/分に対し、排水管から出て行く量は24×3=72リットル/分
ですから、出て行くほうが8リットル/分多いですね。
つまり、空になる
ということです。
空になるまでの時間は、8ｔ＝400から、ｔ＝50分
ということになります。

No.3 回答者： donald1982 回答日時： 2010/07/23 23:41

次に(2)について解答します。

２）１２００lの水が入るタンクに、給水管が１本と、どれも同じ太さの排水管が３本ついている。給水管からタンクへは、つねに一定の割合で水が給水されている。いま、タンクには４００lの水が入っており、排水管を１本だけ開くと、２０分でタンクが満水になり、排水管を２本だけ開くと、５０分でタンクが満水になる。排水管３本開くと、何分でタンクが満水、または空になるか、求めなさい。

（解答）
給水管から給水される量を１分当たりXlとします。
排水管から排水される量を１分当たりＹlとします。

給水管と、排水管１本を開けた場合の１分管のタンクの水量は
Ｘ-Ｙlです。

＞２）１２００lの水が入るタンクに、給水管が１本と、どれも同じ太さの排水管が３本ついている。
＞給水管からタンクへは、つねに一定の割合で水が給水されている。いま、タンクには４００lの水が
＞入っており、排水管を１本だけ開くと、２０分でタンクが満水になり、
・タンクが満水になるまで、１２００l-４００l＝８００l
・１分当たりの水量の変化はＸ-Ｙl
・２０分で満水になったのだから、２０分×(Ｘ-Ｙl)＝８００l　(1)

＞排水管を２本だけ開くと、５０分でタンクが満水になる。
・タンクが満水になるまで、１２００l-４００l＝８００l
・１分当たりの水量の変化はＸ-２Ｙl　←排水管を２本開けたから「-２Ｙ」
・５０分で満水になったのだから、５０分×(Ｘ-２Ｙl)＝８００l　(2)

(1)と(2)の連立方程式を解くと
２０（Ｘ-Ｙ）＝８００
Ｘ－Ｙ＝４０　(1)’

５０（Ｘ－２Ｙ）＝８００
Ｘ－２Ｙ＝１６　(2)’


２Ｘ-２Ｙ＝８０　(1)’’
Ｘ-２Ｙ＝１６

-Ｘ＝-６４
Ｘ＝６４

Ｙ＝２４

つまり、給水管から毎分６４lの水が入って、排水管１本から毎分２４lの水が出ていく。

排水管３本を開けると、毎分２４l×３本＝７２lの水が出ていく。

１分当たりの水量の変化は６４-７２＝－８
つまり、毎分８lの水が出ていくことになります。

今、タンクには４００lの水が入っているので、排水管を３本開けたら４００÷８＝５０
つまり、５０分で排水管の水が空になります。

No.1 回答者： donald1982 回答日時： 2010/07/23 22:47

まず(1)について回答してみます。

ある中学校で、花壇に４種類の花A,B,C,Dの苗を、合わせて２４０本植えた。
→　Ａ+Ｂ+Ｃ+Ｄ＝240　(1)

この４種類の花の苗の数は、多いほうからA,B,C,Dの順であった。
→　Ａ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ　(2)

それぞれの苗の数をみると、Bの数はDの数の３倍
→　Ｂ＝Ｄ×３　(3)
（→１２は４の３倍だったら、１２＝４×３だからこうでしょう）

Cの数は全体の４分の１であった。
→　Ｃ＝２４０÷４＝６０　(4)
（「合わせて２４０本植えた。」→全体で２４０本）

また、AとDの数の差は、BとCの数の差の５倍であった。AとBの苗の数をそれぞれ求めなさい。
→　Ａ-Ｄ＝５×（Ｂ-Ｃ）　(5)

こういうのは、とりあえずわかる数字を入れていったらどうでしょう。
(4)で「Ｃ＝６０」というのがわかる。　(6)
また、(3)からＢ＝３Ｄ　(7)

(1)に(6)と(7)の情報を入れると
Ａ+３Ｄ+６０+Ｄ＝２４０　(8)

(5)に(6)と(7)の情報を入れると
Ａ-Ｄ＝５×{（３Ｄ）-６０}　(9)

(8)と(9)の連立方程式を解きます。

Ａ+４Ｄ＝１８０　(8)’

Ａ-Ｄ＝１５Ｄ-３００
Ａ-１６Ｄ＝-３００　(9)’

４Ａ+１６Ｄ＝７２０　(8)’’

５Ａ＝４２０
Ａ＝８４

８４+４Ｄ＝１８０
Ｄ＝２４

(3)からＢ＝７２

答えは　Ａ＝８４　Ｂ＝７２　Ｃ＝６０　Ｄ＝２４