フーリエ積分公式を用いて次の等式を証明したい。

フーリエ積分公式を用いて次の等式を証明したい。

∫[0～∞]((usin(xu))/(1+u^2))du=(π/2e^x)
(x>0)

わかる方がいました参考にさせて頂きたいです。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/24 10:27

具体的にどのような式をもちいてよいのか書いてないでの、適当に解釈します。

参考URLに同じ問題がありますのでそれを参考に。

以下は証明の概略です。

f(x)=π/2e^x.

参考URLのフーリエ正弦変換を用います。
（用いてよい条件満たしていることを確認してください。）
F_s=Fと略記.

フーリエ正弦変換
F(u)=int[0,∞]f(x)sin(ux)dx.
問題の右辺=f(x)=2/π×int[0,∞]F(u)sin(ux)du.

2/π×F(u)=u/(u^2+1)、を示せばよいことがわかります。

2/π×F(u)
=π/2×int[0,∞]f(x)sin(ux)dx
=int[0,∞]e^{-x}sin(ux)dx.

最後の積分をIとする(高校数学でできますが一応計算します).
二回部分積分します。
I
=int[0,∞]ue^{-x]cos(ux)dx
=u-u^2I.
I=u/(u^2+1).

この積分値を求めるには、複素積分の留数定理を用いる方法もあります。

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/di …

この回答へのお礼

参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/24 18:27

No.2 ベストアンサー 回答者： gotouikusa 回答日時： 2010/07/24 03:00

#1でお答えしたものです。

申し訳ございません，ミスをしてしまいました。(π/2) exp(-x) は奇関数ではありません…
改めて解答を作ってみましたが，複雑だったので，ほかの方(または自分も考え直して)のスマートなご解答をご参考になさってください。
一応，私の解答を次のページにUpload致します。必要あれば(画像をクリックして)ご覧になってください：
http://blog.goo.ne.jp/gotouikusa/e/503bd77e60861 …
添付したのは，その概略です。

この回答へのお礼

参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/24 18:27

No.1 回答者： gotouikusa 回答日時： 2010/07/24 00:59

ご参考になさってください。