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z=(-x/y)*(dy/dx) を dz/dxで微分すると?


微分に関して分らない問題があります。

あるテキストの解法の途中で、

「z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dxで微分 ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)」

となっているのですが、この原理について、調べてみてもなかなか見つかりません。
どなたか原理の分かる方おられませんでしょうか。

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A 回答 (1件)

>z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dx ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)


これは間違い。

正:dz/dx=-(dx/dx)*(1/y)*(dy/dx)-x*d(1/y)/dy)*(dy/dx)-(x/y)*d(dy/dx)/dx
=-(1/y)*(dy/dx)+(x/y^2)*(dy/dx)^2-(x/y)*d^2 y/dx^2
    • good
    • 0
この回答へのお礼

なるほど、

積の微分「{f(x)g(x)h(x)}'=f(x)'g(x)h(x)+f(x)g(x)'h(x)+f(x)g(x)h(x)'」と

式変換「(d/dx)*(dy/dx)=(d/dy)*(dy/dx)^2」を

使って

「-(1/y)*(dy/dx)+(x/y^2)*(dy/dx)^2-(x/y)*d^2 y/dx^2」を

導くわけですね!
あと、質問の時点で記してはいなかったのですが、

「dy/dx=-2」という条件があって、これを使うと質問時の「dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)」
を導く事ができました!

テキストでは、「dy/dx=-2 を用いて・・・」という注釈がなく(次の設問にはあるのにこの設問には無い;)
式変形の過程すらなく、いきなり

「z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dx ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)」

が導かれており、分らずに悩んでいたので非常に助かりました!

お礼日時:2010/08/20 15:40

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

微分=傾き=tanθ=dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分=傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き=tanθ=dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

Aベストアンサー

表記の仕方ですか?
dy/dxは 
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Qdy/dxの求め方が分かりません。

(x^3) - 3(x^2)y + (y^3) = 0

上記の式(陰関数)から、dy/dxを求める問題が分かりません。

どうかご教授お願いします。

Aベストアンサー

積の微分、合成関数の微分は、大丈夫ですよね?
万が一怪しい場合も考えて、項ごとに、微分してみます。

x^3をxで微分するのは、普通にやればいいので、(x^3)' = 3(x^2)、

(x^2)yをxで微分するのは、積の微分・(f*g)' = f'*g + f*g' を使って、
{(x^2)y}' = (x^2)'*y + (x^2)*y' = 2xy + (x^2)(dy/dx)、

(y^3)をxで微分するのは、yがxの関数の場合は
(でなければ、定数ということで、微分は0になる)
合成関数の微分・((y^3)をyで微分したもの)*(yをxで微分したもの)を使って、
(y^3)' = 3(y^2)*y' = 3(y^2)(dy/dx)

なので、
(x^3)-3(x^2)y+(y^3)=0の両辺をxで微分すると、
3(x^2) - 6xy - 3(x^2)(dy/dx) + 3(y^2)(dy/dx) = 0
(x^2) - 2xy - (x^2)(dy/dx) + (y^2)(dy/dx) = 0
(x^2 - 2xy) - (x^2 - y^2)(dy/dx) = 0
(x^2 - 2xy) = (x^2 - y^2)(dy/dx)
よって、dy/dx = (x^2-2xy)/(x^2-y^2)

積の微分、合成関数の微分は、大丈夫ですよね?
万が一怪しい場合も考えて、項ごとに、微分してみます。

x^3をxで微分するのは、普通にやればいいので、(x^3)' = 3(x^2)、

(x^2)yをxで微分するのは、積の微分・(f*g)' = f'*g + f*g' を使って、
{(x^2)y}' = (x^2)'*y + (x^2)*y' = 2xy + (x^2)(dy/dx)、

(y^3)をxで微分するのは、yがxの関数の場合は
(でなければ、定数ということで、微分は0になる)
合成関数の微分・((y^3)をyで微分したもの)*(yをxで微分したもの)を使って、
(y^3)' = 3(y^2)*y' = 3(y^2)(dy/...続きを読む

Q2変数関数の極値について

f(x,y)=(x^3)(y^2)の極値を求めよ
という問題なのですが、偏導関数が0となる点を調べたところ
x軸とy軸という解が出ました。しかし、これをDに代入すると
D=0となり、極値の判定ができません。
D=0の場合、関数により対処法が違うということは知っているのですが
この場合どうすればいいかわからないのでお力をお借りしたいです。
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

Dの定義式は何でしょうか?
停留点候補を(p,q)とすると
D(p,q)=fxy(p,q)^2 - fxx(p,q)fyy(p,q)
でいいですか?

>偏導関数が0となる点を調べたところ
>x軸とy軸という解が出ました。

停留点候補は
(0,a),(b,0) (a, bは任意の実数)

>この場合どうすればいいかわからないので
D(0,a)=D(b,0)=0  (a, bは任意の実数)

極値の定義に基づいて判定すればいいでしょう。
極小値の定義(狭義の定義):
 (x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)<f(x,y)を満たすとき
 (x0,y0)でf(x,y)は極小値f(x0,y0)をとるという。

極大値の定義(狭義の定義):
 (x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)>f(x,y)を満たすとき
 (x0,y0)でf(x,y)は極大値f(x0,y0)をとるという。

これらの定義を使えば f(x,y)=x^3*y^2について

停留点候補
(0,a),(b,0) (a, bは任意の実数)
のいずれについても(狭義の意味での)極値を取らないことが分かります。
∵f(0,a)=0=f(0,y)=0 (y≠a),
f(0,a)=0<f(x,a)=x^3*a^2 (x>0,a≠0),
f(0,a)=0>f(x,a)=x^3*a^2 (x<0,a≠0),
  極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
∵f(b,0)=0=f(x,0) (x≠b),
  f(b,0)=0<f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b>0)
  f(b,0)=0>f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b<0)
  極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
また停留点(0,0)について
  f(0,0)=0=f(0,y) (y≠0)
  f(0,0)=0=f(x,0) (x≠0)
  f(0,0)=0<f(t,t)=t^5 (t>0)
  f(0,0)=0>f(t,t)=t^5 (t<0)
  極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
以上から、(狭義の意味で)極値が存在しないことが言えます。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/極値

Dの定義式は何でしょうか?
停留点候補を(p,q)とすると
D(p,q)=fxy(p,q)^2 - fxx(p,q)fyy(p,q)
でいいですか?

>偏導関数が0となる点を調べたところ
>x軸とy軸という解が出ました。

停留点候補は
(0,a),(b,0) (a, bは任意の実数)

>この場合どうすればいいかわからないので
D(0,a)=D(b,0)=0  (a, bは任意の実数)

極値の定義に基づいて判定すればいいでしょう。
極小値の定義(狭義の定義):
 (x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)<f(x,y)を満たすとき
 (x0,y0)でf(x,y)は極小値f(x0,y0)をとると...続きを読む

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html


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