A,Bの2人がいる非ゼロ和ゲームにおいて
(A,B)
(ドラマ、ドラマ)=(7,3)
(ドラマ、バラエティ)=(4,6)
(バラエティ、ドラマ)=(5,5)
(バラエティ、バラエティ)=(6,4)
という利得行列があります。
これについて、混合戦略を求めたいのですが、
Aがドラマを選択する確率をp、バラエティを1-p
Bがドラマを選択する確率をq、バラエティを1-q
とすると、
E(A)=7pq+5(1-p)q+4p(1-q)+6(1-p)(1-q)
=7pq+5q-5pq+4p-4pq+6-6q-6p+6pq
=4pq-q-2p+6
=(4p-1)q-2(p-3)
∴0≦p≦1/4
とここまでは分かったのですが、答えをどう出せばいいのかわかりません。
qの範囲も出した方がいいのでしょうか?
そして、このpの範囲は、何の意味があるのでしょうか?
どなたか、教えて下さい!!
No.4
- 回答日時:
ERIeriERIさん、こんばんは。
ゲーム理論については、全く知らないのですが、
下記の参考URLは参考にならないでしょうか。
これによると、
P0={(p1,p2)|0≦p1≦1,0≦p2≦1,p1+p2=1}
Q0={(q1,q2)|0≦q1≦1,0≦q2≦1,q1+q2=1}
を、各プレーヤーの戦略をとりうる確率の集合とすると、
ここでは、P=(p,1-p)ですが、これがP0の中から選択されたときに
Bは、これに対抗して、E(A)が最小となるQ=(q,1-q)をQ0の中で選ぶということになるそうです。
それを、
min{E(P,Q)|Q∈Q0}
この最小を
minE(P,Q)
Q
とかくと、Aはこれに対抗して、利益を最大になるように戦略を選ぶので
max minE(P,Q)
P Q
一般に、
max minE(P,Q)≦min maxE(P,Q)
P Q Q P
が成り立つようです。
また、フォン・ノイマンのミニマックス定理より
max minE(P,Q)=min maxE(P,Q)
P Q Q P
となる解が存在し、これを最適戦略というようです。
少しでも参考になればと思ったのですが、ここまでしか分かりません。
「非ゼロ和ゲーム」「ゲーム理論」「利得行列」
などで検索してみますと、参考になりそうなページがいくつかありますので
見てみてください。
試験のほう、頑張ってください。あまりお役に立てずにすみません。
参考URL:http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/Optimi …
No.3
- 回答日時:
ANo.#1の方のご指摘どおりですが、もう少し説明を加えるとAが戦略を立てる場合に、Bがどう出るかを考慮するのが混合戦略なので、Aの期待利得E(A)をBがどう出るかに関する確率qの方程式と考え、方程式の最大化問題と捉えます。
この問題設定はそのまま「ゲーム理論入門」日経文庫―経済学入門シリーズ・武藤 滋夫 (著)
にあるのでそちらを参照するのが良いでしょう。
#試験に間に合うのであれば、ですが。
No.1
- 回答日時:
ゼロサムですがコンスタントサムなので本質はゼロサムですね。
ま、本筋には関係ないのでどうでもいいですが。
それと、なぜいきなり
∴0≦p≦1/4
という結論が出てくるのか分かりませんが、
E(A)=(4p-1)q-2(p-3)
がどこで最大になるか考えてみると、
4p-1が正ならq=1
4p-1が負ならq=0
4p-1が0ならqはどの値でも最適戦略
ということで、横軸p、縦軸qとして
どこの点で最良戦略が取られているかを図示すれば
よいでしょう。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
混合戦略をあまりよく理解できていないのですが、
明日テストのため、何かパターンがあれば・・・と思っています。
Aの最適戦略を求めるときは、qの最大値を求めればいいということでしょうか?
逆にBのときはpの最大値を求めることになりますか?
確かにこの問題の最後に図示して解答するように と書いてありますので、
図示する方が考えやすいということなのでしょうか。
本質を理解していない上で質問しているので、
何言ってるんだ?とお思いになるかと思いますが。。。
よろしくお願いします。
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