![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qの組み合わせ
を見つけることは可能ですか?
更に言いますと、数学的な要求でなくてすみませんが
できればp,qは小数第3位くらいまでで表せる数だと一番いいのですが。
一応、↓の質問の続きです。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6156285.html
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3です。
前の回答は考えすぎていました。a^2+b^2=c^2
となるピタゴラス数が1組あれば、
(am+bn)^2+(an-bm)^2
=(am)^2+2abmn+(bn)^2+(an)^2-2abmn+(bm)^2
=(am)^2+(bm)^2+(an)^2+(bn)^2
=(cm)^2+(cn)^2
∴m^2+n^2={(am+bn)/c}^2+{(an-bm)/c)}^2
ピタゴラス数の組を変えればいくらでも見つかります。
a=3,b=4,c=5
a=7,b=24,c=25
とすれば小数第2位以内で表せます。
ありがとうございます!!
c=(2^a)×(5^b) (a,bは3以下の自然数)
で選べば目的は達成できるわけですね
(mやnに公約数があれば、更に選択肢が増えるでしょうが)。
実用上の問題で
ピタゴラス数に関する問題が出てくるとは思いませんでした。
やはり「数学は日常生活で使わない」は嘘ですね。
こういう問題が少しでも自分で解決できよう精進したいと思います。
No.3
- 回答日時:
m^2+n^2=p^2+q^2となる正の有理数p,qが存在するか。
これは有理数の分母を払うことによって、
任意の自然数m,nについて
a:b=m:n
a^2+b^2=c^2+d^2
となる自然数a,b,c,dが存在するか。
という問題と同じです。
自然数a,b,c,dが、ab=cd のとき、
(a+b)^2+(c-d)^2=(a-b)^2+(c+d)^2
が成立します。
(a+b):(c-d)=m:n とすると、
n(a+b)=m(c-d)=m(c-ab/c)
n(a+b)c=m(c^2-ab)
mc^2-n(a+b)c-mab=0
cが自然数であるためには、
判別式=n^2(a+b)^2+4m^2ab
が平方数でなければなりません。(十分条件ではありませんが)
結局、質問の問題は、
任意の自然数m,nについて、
n^2(a+b)^2+4m^2ab=k^2
となる自然数a,b,k(a≠b)が存在するか
という問題と同じになります。
これは、ピタゴラス数を求めるより難しいです。
もしかしたら、そのような組み合わせが存在しないm,nがあるかもしれません。
前の質問で示した方法は、m,nを自由に決められるわけではないので、残念ながらNo.2さんの方法はできませんので。
この回答への補足
趣旨を理解いただき、(p,q)=(m,n)等の場合を挙げずにいただきありがとうございます。
「存在するか」を「任意の」にした代わりに
整数を有理数としたことでハードルを下げたつもりでしたが
変わりなかったんですね。
容易ではないことを知り、悩んだ甲斐があった反面
実用上どうしようかと思うと少しがっかりです。
回答ありがとうございました。
前の質問でも回答いただいた方だったんですね。
ありがとうございました。
実はマシニングセンタやNC旋盤で円弧を描く指令が
μm単位までしか値を指定できない一方
円弧の半径は大概無理数になってしまうので
誤差を含まないような指令法は無いのかと研究中でした。
円弧や中心の座標はたいてい整数か半整数のmm単位ですから…。
No.2
- 回答日時:
前の質問で、該当する整数の組み合わせの求め方が示されていると思います。
小数第3位までということなので、それらの数を
2^n x 5 ^m ( n と m は、0 ~ 3 の任意の数 )
で割ってあげればいいのではないでしょうか。
例えば、m, n , p q の整数が満たす場合、
m/50, n/50, p/50, q/50 の組み合わせ
なんかが求めるような数の一つになるかと思います。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
前回の問題は「そのような組み合わせが(1つでも)存在するか」であり
今回の問題は「任意の」が付いていますので、勝手にm,nを選ぶことはできません。
すべてのm,nについてp,qが存在するかを問うているのと同じです。
なお、質問文で言い忘れましたが、p≠mかつq≠mです。
No.1
- 回答日時:
>正の有理数p,qの組み合わせ
有理数とは「二つの整数 a, b (ただし b は 0 でない)をもちいて a / b という分数で表せる数のこと」ですよ。
なので、a, bが何10万桁もある巨大な整数の場合もOKになってしまいますよ。
従って「有理数p,qの組み合わせ」は、無数にあると思われます。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
有理数については承知しておりますが
趣味の数学ではないので、実用上の都合を申し上げました。
組み合わせは無数にあるとのことですが
(m,n)=(2,1)のとき、そのようなp,qは例えばどんなものがありますか?
無論{p,q}={2,1}以外の組でお願いします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 p²+q²=1を満たす有限小数 10 2023/03/11 13:35
- 数学 無理数の数字の組み合わせ。無限の意味について 5 2022/05/28 22:53
- 数学 すべての自然数とすべての実数を1対1で対応させる(すべての実数を一列に並べる)方法について 3 2023/05/26 17:14
- 数学 実数の収束と上限 4 2023/01/20 22:46
- 数学 回答の意味について 4 2023/07/11 11:19
- 数学 回答の意味について 3 2023/07/06 14:14
- 分譲マンション 管理組合の理事の任期について教えてください。 6 2022/07/28 21:27
- 数学 質問の意味がわかる方だけに回答をお願いします。 1 2023/07/19 12:19
- 数学 単位元について 2 2022/09/11 22:56
- 数学 1-1+1-1+…=sqrt(2)って証明できるの?(解析接続)(グランディ級数) 解析接続はほぼ入 3 2023/06/08 12:35
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
至上最難問の数学がとけた
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
留数定理とコーシーの積分公式...
-
AとBはn次正方行列とする。 積A...
-
東大編入問題です。 この(3)の...
-
二次合同式の解き方
-
11の22乗を13で割った余り...
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
【線形代数】基底、dimVの求め方
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
オイラーの多面体定理の拡張
-
推論規則と定理、公理は違うもの?
-
8のx乗=mod11の答えは?
-
演算子法なににつかう
-
代数学の問題
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
パップスギュルダンの定理について
-
実数の整列化について
-
無理数と素数の間に何か関係が...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
至上最難問の数学がとけた
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
AとBはn次正方行列とする。 積A...
-
これは証明になってる
-
中国剰余式定理(一般形)の証明...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
パップスギュルダンの定理について
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
定理と法則の違い
-
【線形代数】基底、dimVの求め方
-
奇数次の代数方程式
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
二次合同式の解き方
-
オイラーの多面体定理の拡張
-
11・13y≡5(mod9)がy≡4(mod9)にな...
-
量子化定理とは?
-
A,Bの異なる2つの箱に異なる1...
-
11の22乗を13で割った余り...
おすすめ情報