Ｑ．無理数全体の集合Ｐについて｜Ｐ｜>?0を証明せよ。

Ｑ．無理数全体の集合Ｐについて｜Ｐ｜>?0を証明せよ。


レポートを提出したのですが、上記の問いのみ、(1)（下記）を中心に説明不十分とコメントされていました。
レポートは合格したので再提出はないのですが、解答はもらえないため、気になります。
どなたか、修正および補足などをお願いします。


Ａ．

Nを自然数全体の集合、Zを整数全体の集合、Qを有理数全体の集合、Rを実数全体の集合とする。

|P|≠アレフゼロを背理法で証明する。
|P|=アレフゼロと仮定すると、アレフゼロからPへの全単射が存在する。
アレフゼロ=|N|だから、NからPへの全単射がある。
A={-n|n∈N}とすると、|A|=|N|=|Q|だから、
A→Qの全単射がある。
Z-{0}=A∪N (A∩N=(空集合))
R=P∪Q (P∩Q=(空集合))だから、|N|=|Ｐ|、|A|=|Q|だから、
|Z-{0}|＝|R|
になる。
|N|=|Z-{0}|であるから、アレフゼロ=|N|=|Z-{0}|=|R|となり、矛盾である。
よって、|P|≠アレフゼロとなる。
また、Pは有限集合であるから|P|<アレフゼロではない。
以上により、|P|>アレフゼロとなる。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/09/05 20:16

有理数全体の集合が可算であったり、実数全体の集合が非可算であること、はたまた P が無限集合であることは何の説明もなく使っていいのですか？

レポートなのですから、例えば「|N|=|Ｐ|、|A|=|Q|だから、|Z-{0}|＝|R|」などがまったく説明なく書かれていれば、説明不足と言われても当然です。


高校生までは「合っていれば」点数が貰えたと思いますが、本来証明とは「人に説明するためのもの」であることを意識しましょう。

この回答への補足

ご解答有難うございます。

＞例えば「|N|=|Ｐ|、|A|=|Q|だから、|Z-{0}|＝|R|」などがまったく説明なく書かれていれば、説明不足と言われても当然です。

それでは、どのように説明すればいいのでしょうか？

「|N|=|Ｐ|、|A|=|Q|だから、|Z-{0}|＝|R|」
とまさにいえるのだと思っていました。

お手数ですが、ご解答いただけますか。

補足日時：2010/09/06 00:50

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/09/06 03:15

>それでは、どのように説明すればいいのでしょうか？

普通に証明を記載すればいいですよ。

No.3 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/09/06 03:29

> |N|=|Z-{0}|であるから、アレフゼロ=|N|=|Z-{0}|=|R|となり、矛盾である。

この部分で、質問者さんが指摘したい矛盾点が何なのかが分からないです。
考えられるのは
(1) アレフゼロ = |N|が矛盾
(2) アレフゼロ = |Z-{0}|が矛盾
(3) アレフゼロ = |R|が矛盾
(4) |N| = |Z-{0}|が矛盾
(5) |N| = |R|が矛盾
(6) |Z-{0}| = |R|が矛盾
ですが、質問者さんは(1)～(6)のうち、
どれが矛盾していると言いたいのでしょうか。

例えば(5)が矛盾していると指摘したいなら

|N| = |Z-{0}|であるから、アレフゼロ = |N| = |Z-{0}| = |R|となる。
～～という理由から|N| = |R|は矛盾している。
よって|P|=アレフゼロという仮定が誤りである。

という風に矛盾を指摘したい点だけ抜き出して書いた方が良いと思います。

この回答への補足

ご解答有難うございます。

矛盾は(5)です。
|N| ≠ |R|
は証明も含めて、テキストに載っているので、そのまま使えるはずです。

|N| = |Z-{0}|
については

１対１対応である。
１⇔１
２⇔－１
３⇔２
４⇔－２
・
・
２ｎ⇔－ｎ
・
よって、|N| = |Z-{0}|

と記載しようと思っています。



であるから、アレフゼロ = |N| = |Z-{0}| = |R|となる。
～～という理由から|N| = |R|は矛盾している。
よって|P|=アレフゼロという仮定が誤りである。


「～～という理由から」

この理由の書き方を教えていただけませんか？

補足日時：2010/09/06 11:43

No.4 回答者： itukadarekato 回答日時： 2010/09/06 15:01

あなたの解答は以下の点に問題があると思います

１．あなたの証明は論旨がはっきりしない

　・何を使って良いのか明記する必要がある。何を示したいのかも
　・あなたの証明の要のZ-{0}からRへの全単射が存在することが記述されていない
実際には　ｎと２ｎ(偶数)及びｎと２ｎ－１(奇数)への全単射を使った方が
０を付けたりとったりする必要がないから簡単だと思いますが
　・あなたの証明は実質2段階に分かれているが、この点も不明確

２．どのような定義にもとづくのか明確でない

　・以上により、|P|>アレフゼロとなる。
あなたの授業では|P|>アレフゼロの定義はどうなっているのか不明確
等濃度の説明はあるが、濃度が真に大きい場合小さい場合の説明がない
通常の数の大小とは違いますから、これ以前の論証からこの結論が導かれる保証
がない

３．明確な間違いがいくつかある

　・アレフゼロからPへの全単射が存在する
アレフゼロは濃度で集合ではないから全単射など存在するはずがない
　・また、Pは有限集合であるから|P|<アレフゼロではない。
Pは無限集合であるからら|P|>=アレフゼロと書きたかったと思いますが

No.5 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/09/07 11:09

> 「～～という理由から」

>
> この理由の書き方を教えていただけませんか？

|N| ≠ |R|が正しい事を証明で使ってよいなら、
次のように書けば良いと思います。

-----------------------------------------------------------------
|N| = |Z-{0}|であるから、アレフゼロ = |N| = |Z-{0}| = |R|となる。
これは|N| ≠ |R|であることと矛盾している。
よって|P|=アレフゼロという仮定が誤りである。
-----------------------------------------------------------------

|N| ≠ |R|を自力で証明してから使う場合は、
次のように書けば良いでしょう。

-----------------------------------------------------------------
|N| = |Z-{0}|であるから、

アレフゼロ = |N| = |Z-{0}| = |R| … (*)

となる。
ここで|N| ≠ |R|を示し、(*)が矛盾している事を示す。
・
・
・
よって|N| ≠ |R|であり、(*)は矛盾している。
以上より|P|=アレフゼロという仮定が誤りである。
-----------------------------------------------------------------

この回答への補足

有難うございます。
以下でよろしいのでしょうか？
ご確認お願いします。


|P|≠アレフゼロを背理法で証明する。
|P|=アレフゼロと仮定すると、アレフゼロからPへの全単射が存在する。
アレフゼロ=|N|だから、NからPへの全単射がある。
A={-n|n∈N}とすると、|A|=|N|=|Q|だから、
A→Qの全単射がある。
Z-{0}=A∪N (A∩N=(空集合))
R=P∪Q (P∩Q=(空集合))だから、|N|=|Ｐ|、|A|=|Q|だから、
|Z-{0}|＝|R|
になる。
また、|N|と|Z-{0}|について、
１⇔１
２⇔－１
３⇔２
４⇔－２
・
・
２ｎ⇔－ｎ
・
１対１対応である。よって、|N| = |Z-{0}|
|N|=|Z-{0}|であるから、
|N| = |Z-{0}|であるから、アレフゼロ = |N| = |Z-{0}| = |R|となる。
これは|N| ≠ |R|であることと矛盾している。
よって|P|=アレフゼロという仮定が誤りである。
また、Pは有限集合であるから|P|<アレフゼロではない。
以上により、|P|>アレフゼロとなる。

補足日時：2010/09/07 16:06

No.6 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/09/09 15:45

> |N| = |Z-{0}|であるから、アレフゼロ = |N| = |Z-{0}| = |R|となる。

「アレフゼロ = |N| = |Z-{0}| = |R|」となる理由が
証明文のあちこちに散らばっています。
なのでいきなり「アレフゼロ = |N| = |Z-{0}| = |R|」と書かれると
読む人は混乱すると思います。
また、一番左のアレフゼロは必要ない気がします。

中学生の図形の証明問題の時のように、
適度に番号を振った方が良いと思います。

----------------------------------------
・
・
・
アレフゼロ=|N|だから、NからPへの全単射がある。
A={-n|n∈N}とすると、|A|=|N|=|Q|だから、
A→Qの全単射がある。
Z-{0}=A∪N (A∩N=(空集合))
R=P∪Q (P∩Q=(空集合))だから、|N|=|Ｐ|、|A|=|Q|だから、

|Z-{0}|＝|R| … (1)

となる。
また、|N|と|Z-{0}|について、
１⇔１
２⇔－１
３⇔２
４⇔－２
・
・
２ｎ⇔－ｎ
・
１対１対応である。よって、

|N| = |Z-{0}| … (2)

となる。
(1), (2)より、|N| = |Z-{0}| = |R|となる。
これは|N| ≠ |R|であることと矛盾している。
・
・
・
----------------------------------------

後は他の回答者の方々の意見を取り入れてください。