バネの問題に関するエネルギーと仕事について質問です[高校物理]

バネの問題に関するエネルギーと仕事について質問です[高校物理]

重り(質量m=0.1kg)が繋がったバネ(バネ定数k=4.9N/m)が天井にぶら下がっている系(重力加速度g=9.8N/kg)で、初めは手によってバネが自然長の状態になるところまで重りが持ち上げられています。それから手を下げていき、重りの重力とバネの力が釣り合うところで手が離れます。
重りの重力がした仕事(W1)と、手が重りにした仕事(W2)、バネの弾性力がした仕事(W3)を出す問題なのですが、力のつり合いから出す答えと力学的エネルギーの保存則から出す答えが自分の中で一致しなくて困っています。

力のつり合いから考えると、mg=kxでバネの伸びはx=0.2mとなります。なので重りの重力がした仕事はW1=Fx=mgx=0.98*0.2=0.196、手が重りにした仕事とバネの弾性力がした仕事はこの仕事と等しいはずで、なおかつこの二つの仕事は同じだけの仕事量のはずですから、W2=W3=0.98と出ます。これはこの問題の答えと合致します。
力学的エネルギーの保存則からこの問題を解くと、初めの状態での重りの位置エネルギーを0Jとしておくと、最初の状態は弾性エネルギーもないので力学的エネルギー(E1)は0です。手を離してからの状態は位置エネルギーが-mgxに弾性エネルギー1/2kx^2であり、力学的エネルギー(E2)は-0.98x+2.45x^2となり、E1=E2としてxを解くとx=0.4mとなってしまい、各仕事もずれてしまいます。

上記の論理はどのポイントで勘違いしているのか教えて頂けると助かります。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtaka2 回答日時： 2010/09/07 11:56

「手が重りにした仕事(W2)」が計算に抜けていますね。

「初めは手によってバネが自然長の状態になるところまで重りが持ち上げられて」の時点で、手には重りからの力がかかっています。
重りは、手に力をかけながら移動するわけですから、その分仕事をしていて、
その仕事の分、力学的エネルギーは減っていきます。

ここで立てられる式は、
・W1+W2+W3=0
・W1=-mgx
・W3=1/2 kx^2
であり、ここから、W2を求めることができる、というのが問題主旨でしょう。

これに「力のつり合いから考えると、mg=kxでバネの伸びはx=0.2m」を代入することで、W1～W3が求まります。

このとき、
・W1=重りの位置エネルギー: mgh = 0.1×9.8×-0.2=-0.196J
・W2=手に対してした仕事: 0.098J
・W3=バネの弾性エネルギー: 1/2 k x^2 = 0.098J
で、エネルギーの収支は合う、ということになります。

ここで、W2とW3は今回はたまたま一致していますが、「この二つの仕事は同じだけの仕事量」とはかぎりません。計算過程でW2=W3と仮定してはダメです。
細かい計算は省きますが、たとえば「重りを0.1mだけ下げた」場合は、W1=-0.098J、W2=0.0735J、W3= 0.0245J になります。(どの段階でも、エネルギー保存則からW1+W2+W3=0は成り立ちます)