７人の生徒を、次の(ア)～(ウ)の条件を満たすように、いくつかの委員会

７人の生徒を、次の(ア)～(ウ)の条件を満たすように、いくつかの委員会に分けます。
ア、各委員会の構成人数はそれぞれ３人とする。
イ、それぞれの生徒は複数の委員会を持つ。
ウ、７人から２人を選ぶと、どの２人を選んでもその２人がともに所属する委員会は１つだけある。
この時委員会はいくつありますか？

という問題です。
わかりやすく説明付けてもらえれば幸いです。
よろしくお願します。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/08 23:43

こんばんわ。

一番ベタな方法は、「すべての組合せを書き出してから、条件に当てはまらないものを消去する」という方法ですね。
7人から 3人を選びだす方法は、7Ｃ3＝ 35とおりです。
この組合せをすべて書き出すのは、少しがんばる程度でできると思います。
あとは、そこから当てはまらないものを消去していきます。

たとえば、(A, B, C)というグループを作ったとすると、
(A, B, *)、(A, C, *)、(B, C, *)（*はD～Gまでのどれか）は条件に当てはまらないとなります。
つまり、消去の対象となります。

そして、この手順がわかってくると、当てはまるグループ分けを見つけることができるようになります。
紙に次のように書いてみます。
Ａ　Ｂ　Ｃ
Ｄ　Ｅ　Ｆ
　　Ｇ

(i) (A, B, C)と (D, E, F)をグループとして○で囲みます。

(ii) (A, B, *)や (D, E, *)などは当てはまらないことを考えると、
(A, B, C)から 1人、(D, E, F)から 1人をそれぞれ選ばないといけないことがわかります。

(iii) そして最後の 1人は Gとなるので、それらを縦に○で囲むようにグループ分けをします。

最後に、それぞれの生徒が複数のグループに属していることを確認します。
答えは片手程度の数になりますね。＾＾

この回答への補足

これって５つという意味ですか？

補足日時：2010/09/08 23:58

No.2 回答者： staratras 回答日時： 2010/09/09 05:27

＃１の方の解答と基本的な考え方は同じですが、委員会の数だけをまず求める方法です。

A,B,C,D,E,F,Gを各頂点とする7角形ABCDEFGを考えます。
この時問題の条件は次のようになります。
ア、この7つの頂点のうち3つを結んで3角形を作る
イ、7つの頂点はすべて複数の3角形に属する
ウ、7角形の辺と対角線すべては3角形1つだけに属する

ここで7角形の対角線の本数は 7×(7-3)÷2=14 なので
辺と対角線の本数の和は 7＋14=21 です
この21本を使って、重複しないように3角形を作るのでその個数は
21÷3=7 つまりこれが、求める委員会の数です。
「７人から２人を選ぶと、どの２人を選んでもその２人がともに所属する委員会は１つだけある。」という条件が上記のウになるところがポイントです。

ここでア、イ、ウを満たす3角形を具体的に作るには、例えば次のようにします。
辺ABを1辺とする3角形を考えると残りの2辺は対角線でなければならないので3角形ABDを作ります。
次に辺BCを1辺とする3角形も残りの2辺は対角線なので、対角線が重複しないように3角形BCEを作ります。
以下同様に3角形CDF、3角形DEG、3角形EFA、3角形FGB、3角形GACを作ります。
こうして作った7つの三角形は条件を満たします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/09/09 19:28

７人から２人を選ぶとその２人がともに所属する委員会は１つだけあるということは、

自分を除いた６人のうち、２人づつが自分と同じ委員会に属しているということです。
なので、各生徒が属している委員会の数は３つ（６／２）になります。
委員会に所属している生徒は３人づつなので、委員会の数は、

７×｛（７－１）／（３－１）｝／３＝７

ただし、実際にそのような組み合わせが存在するかは検証する必要があります。

この回答へのお礼

自分頭悪いんで
やっと理解できましたw
一番わかりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/09/10 23:48