x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は、x=4,y=2以外にありま

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質問者：kn-0141
質問日時：2010/09/20 11:07
回答数：5件

x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は、x=4,y=2以外にありますか？

また、この解の求め方が分る方がいらっしゃったら教えて下さい。

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回答 (5件)

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No.4ベストアンサー

回答者： alice_44
回答日時：2010/09/21 08:58

自然数の範囲で、やってみよう。

xのy乗 = yのx乗 = z が成立しているとする。
z の素因数分解を考えれば、
x と y の素因数は共通であることが解る。
素因数 p の x における指数を a、
y における指数を b と置くと、
p の z における指数から
ay = bx である。
x ＞ y ＞ 0 より、a ＞ b と解る。
これが各 p で成り立つから、
x は y で割り切れる。

x = ky と置く。
x ＞ y より、k ＞ 1 である。
ここで、最初の式に戻ると、
zのy乗根 = kx = yのk乗が成り立つ。
D(n) = (yのn乗) - ny と置くと、
任意の y に対して D(1) = 0 であるが、
y ＞ 2 のときは、D(n+1) - D(n) = (y-1)(yのn乗) - y
＞ (yのn乗) - y ≧ 0 だから
n ＞ 1 で D(n) ＞ 0 となる。
従って、D(k) = 0 となる解があるのは、
y ≦ 2 に限られる。

y = 2 の場合を解く際も、
上記の考えをたどって、k = 2 に絞られるから、
(x,y) = (4;2) のみが得られる。

y = 1 を代入すると、x = 1 となって、
x ＞ y より、これは解でない。

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No.5

回答者： alice_44
回答日時：2010/09/21 14:09

話を整数の範囲に広げる。

x または y の一方が負であれば、
｜z｜＜ 1 より、他方も負である。
x = -u,
y = -v で置換すると、
uのv乗 = vのu乗かつ u,v の偶奇は一致
と変形できて、自然数の場合に帰着される。

ここから、No.1 の解が出る。

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No.3

回答者： obonobono
回答日時：2010/09/20 18:08

ｆ（ｘ）＝(logx)/xのグラフを描いてみれば、

ｘ＝４、ｙ＝２以外はないでしょう。
そこで、あえて、整数解ではありませんが、近似解で
ｘ＝７．４
ｙ＝１．５を見つけてみました。
７．４＾１．５＝２０．１３０２
１．５＾７．４＝２０．０９４４

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No.2

回答者： 178-tall
回答日時：2010/09/20 16:45

>x^y=y^x (x>y)を満たす整数解 .....

ひとまず、f(x) = x^(1/x) = e^{(1/x)*LN(x)} のグラフでも描いてみてください。
f(x1) = f(x2) を満たす整数解 x1≠x2 は、{2, 4} のペアだけですね。
　　　

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No.1

回答者： ta20000005
回答日時：2010/09/20 12:19

x=-2,y=-4

f(x)=log(x)/x の利用が一般的だと思う。

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従って、計算を行えば行う程、計算値が奇数の連続になるものは1/2・1/4・1/8・1/16・1/32・・どんどん半分に減少していきます。しかし、無限の数の中では、2のｎ乗分の1は決して0にはなりません。3倍して1を足し2で割る計算をｎ回する場合、1から数えて2のｎ乗番目の奇数（又はその倍数番目の奇数）から始めると、ｎ回の計算結果全てが奇数となります。計算値は大きくなる一方で、4→2→1の繰り返しにはなりません。
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Aベストアンサー

なんで別IDで二重投稿するの？

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Q酸の強さと酸化力について

酸の強さと酸化力について
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つまり、酸の強さと酸化力は関係がないということですよね。

「酸の強さ」とは何によって定まるのかと思い調べたら

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何によって酸の強さは決まるのですか?
また、これを習っていない場合、酸の強さは覚えるしかないのでしょうか?
出てくる酸は「塩酸」「硫酸」「硝酸」くらいですが。

酸化力について
これも何によって定まるのかが分かりません。
覚えるものなんでしょうか?

最後に・・・
酸の強さと酸化力について、違いを教えてください。

Aベストアンサー

酸の強さは、水素イオンの濃度の濃さです。pHなどでこれをあらわします。

酸化力とは反応物を酸化させる（電子を奪う）力があるものを表します。
酸化力のある酸というのは、水素イオンと対になっている部分のイオンに酸化力があるものを示します。
たとえば、塩酸であれば塩化物イオンCl-がそれに該当しますが、これは酸化反応を起こしません。（反応時に反応物から電子を奪わない。）なので、塩酸は酸ではある（水に溶かすと水素イオンを出す）が、酸化力はありません。
しかし、硝酸や熱濃硫酸の場合は、硝酸イオンなどが反応物を酸化させる（反応物から電子を奪う）い、なおかつ水溶液中で水素イオンを出すので、酸化力がある酸という表現を使います。

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Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学１年のものです。

(e^x)'＝e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、２つほど見つけたのですが、

１）
y＝e^x
logy＝x
(1/y)y'＝1
よって　 y'＝y＝e^x

２）　　e^xを無限級数に直して微分

１）の場合d(logx)/dx＝1/x…(＊)を利用していますが、(＊)は(e^x)'＝e^xを利用せずに証明できるのでしょうか？

２）の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」１）も２）も(e^x)'＝e^xを用います。
従って１）にも２）にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(＊)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(＊)はtを用いて
(＊)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ：項数が増え
ロ：個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + ……　+ 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界（どんなnをとってきても(1+1/n)^n＜MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3）です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
（証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います）

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(＊)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する（収束値をeと名付ける）
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

（注：冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう）

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明（あるいは公理の必然性）をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

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Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e　について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか？
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)　　　〔t→0〕
がｅの定義なので、（t→＋0でもt→-0でもＯＫ）
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、ｔ→-0なので、
（与式）＝lim(1+t)^(-1/t)　　　〔t→-0〕

これを変形すると、
＝lim｛(1+t)^(1/t)｝^-1　　　〔t→-0〕
＝e^-1
＝1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

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Qどうしても東大に入りたい！！そのためには駿台か、河合塾本郷校舎か

私は浪人確定の高校3年生です。私は去年一年間まったく勉強しませんでした。去年の１２月のセンター模試で５５０点しかないのにもかかわらずまだ大丈夫と言って逃げていました。しかしどうしても東大に入りたいと言う情熱、願望、欲求は消えうせることなく、一月に入り勉強しましたが足切りにあい今年東大を受験することができませんでした。今年は他の国立大学に出願し、今は後期に向けて合格を手に入れるためだけに勉強しています。私は二浪は絶対にしないです！来年こそは胴上げされます！！
そのため相談したいことがあります。自分は宅浪は100％できません。(二月それで失敗しました)なので予備校に通うつもりです。駿台か河合塾かで迷ってます。駿台は実績がよいのですが、今年河合塾が本郷に新しく東大専門校舎を作り魅力を感じます。私は現役時代東進ハイスクールに通っいて、予備校のことがよくわからないので、
駿台と河合の良い所悪い所をふまえてどちらがいいか教えてください。

Aベストアンサー

．．．。
実績云々ってどういうことだか解ってないようですね。
まず受かりそうな生徒が集まっているってことです。
受かりそうにない人まで受かりました、という実績が、じゃぁどこに書いてありましたか？
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受かりそうな人が受かった話がいくらあってもあなたには関係ありません。違いますか？

> 去年一年間まったく勉強しませんでした。

去年だけですか？
去年だけサボったのなら、センター8割軽く超して、二次でだめだった、ということになるはずですが。
東大に行きたい人が6年間勉強を積み上げるのは極普通のことです。
どうして一年間だけの話に矮小化するのでしょうか？
誤魔化してませんか？それが失敗の元だったのではありませんか？

予備校がどうこうではありません。
現に東進に行っていてセンターがそれだけだったんでしょう。
東進が悪いからセンターの点が取れなかったんですか？それとも自分がサボったからですか？

まず実力相応のクラスに入り、そこで基礎・教科書レベルからやり直すべきです。
講義に合わせていたのでは順当にしか伸びませんから東大には届かないでしょう。
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そんな難しすぎる講義はついて行けないのではないですか？
前期は基礎をやる、とは言いますが、東大の基礎と日大の基礎は違います。

基本的に、自力でやっていけない奴は伸びません。
勉強を嫌々やっているようなら、よく頑張ってMARCHだと思います。
勉強が苦行だったり、学習内容に興味を持てなかったり、勉強が面白くなかったりするようなら、勉強時間は減るだけですので、そういう人は浪人には向きませんし、おそらく大して伸びません。
また、基礎が抜けているのにそこをやり直さず、難しいことばかりやっていればよいのだろう、という人も伸びません。
勉強は下から積み上げていく物です。難しいことばかりやればどうにかなるわけではありません。
それは病み上がりで走れない人がサッカーをやろうとするような物で。まず走れないと。
仮に難しいことができたとしても、センターで点が取れないはずです。

もっと地に足のついたことを考えましょう。
下からやり直すのであれば、河合の普通の校舎をお薦めしておきます。
どうしても自力でできないようなら、24時間監視体制付きのような全寮制の予備校に行くことをお勧めします。

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Q集積点が、まったく分かりません！！

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Ｘをある位相空間、ＡをＸのある部分集合とします。
x∈ＸがＡの集積点であるとは
xの任意の近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が少なくとも１つは含まれる
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のＡの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈ＸがＡの集積点であるとは
「xのどんな近くにも（x以外の）Ａの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈ＸがＡの孤立点であるとは
xがＡの要素であり　　…(S1)
かつxのある近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなＡの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈ＡであることはxがＡの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがＡの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Ａの点でないような
Ａの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Ａの要素に対して与えられる概念ですから、Ａに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをＡの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間（ユークリッド空間）での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例（１）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりＡは原点中心半径１の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとＡの集積点（の集合）は
{(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径１の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例（２）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Ａの集積点（の集合）はＡ自身と集合
Ｂ={(0,y)∈Ｘ| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例（３）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａ= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はＡの集積点です。しかしＡ自身の点はすべて孤立点です。

例（４）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａは開区間(0,1)の有理点。すなわち
Ａ= { x∈(0,1)｜xは有理数 }
とします。Ａの集積点（の集合）は閉区間[0,1]です。