3個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の積が5の倍数になる確率を求め

3個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の積が5の倍数になる確率を求めよ。
という問題なんですが
模範解答は「目の積が5の倍数になるには、少なくとも1個5の目がでなければならない。5が出ない場合は5^3なので、6^3-5^3=91 よって、91/216」
ですが、これを見る前の自分の回答は
5が出る確率は1/6、他はどうでもいいから1/6*6/6*6*6としたのですが、違いました。
ダメな場所を教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2010/10/01 18:00

こんにちは。

５が出ればよいという着眼はよいですね。

そして、
「5が出る確率は1/6、他はどうでもいいから」
という考え方も合っています。
しかし、３つのサイコロにＡ、Ｂ、Ｃについて
（１）Ａだけ５で他はどうでもいい
（２）Ｂだけ５で他はどうでもいい
（３）Ｃだけ５で他はどうでもいい
という考え方をしなくてはいけません。
つまり、（２）と（３）が抜けているので、あなたが出した確率は小さすぎるのです。

ただし、「Ａが５でＢも５」ということもありますから、（１）と（２）には重複部分があります。
それは、（１）と（３）でもそうだし、（２）と（３）でもそうです。

ですので、重なりをなくすためには、こう考えないといけません。
（あ）・・・Ａが５で合格する確率は１／６。不合格の確率は５／６。
（い）・・・（あ）で不合格のときＢが５で合格する確率は１／６。不合格の確率は５／６。
（う）・・・（い）で不合格のときＣが５で合格する確率は１／６。

・（あ）で合格する確率は、１／６
・（あ）で不合格で（い）で合格する確率は、５／６　×　１／６
・（あ）でも（い）でも不合格で（う）で合格する確率は、５／６　×　５／６　×　１／６

３つの確率を合計すると
１／６　＋　５／６×１／６　＋　５／６×５／６×１／６
　＝　６×６／（６×６×６）　＋　５×６／（６×６×６）　＋　５×５／（６×６×６）
　＝　（６×６　＋　５×６　＋　５×５）／６^3
　＝　（３６　＋　３０　＋　２５）／６^3
　＝　９１／２１６
というわけで、模範解答と結果がちゃんと一致していますよね？

つまり、模範解答のような「余事象」という楽で高尚な考え方でなくても、あなたの考えをちょっとだけ直して地道に計算すれば、解けることは解けるのです。

この回答へのお礼

皆さま回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/03 00:11

No.4 回答者： nattocurry 回答日時： 2010/10/01 15:13

> 5が出る確率は1/6、他はどうでもいいから1/6*6/6*6*6としたのですが、違いました。

1/6*6/6*6*6　これは、　1/6*6/6*6/6　の間違いですよね？

この計算式だと、3個のうちの特定の1個が5になる確率ですね。

そして、この考え方だと、特定の1個が5にならなかったら、他の2個が5でも、積は5の倍数にならないということになってしまいます。

No.3 回答者： x1yobigun 回答日時： 2010/10/01 01:48

すでに回答が出ていますが、この問題の場合、３個を同時に投げても、

３個を１個ずつ分けて投げても、結果は同じになることが分かりますか。
３個のサイコロの目の出方は「独立事象」で、互いに影響しないもので
あるという暗黙の前提があるからです。

別の言い方をすると、３個のサイコロを、青、黄、赤　の色が付いてい
るものだと考えます。
すると、３回に分けて投げるのと同じであると理解できるのではないか
と思います。

で、３色に分けたとして、

少なくとも１個は５

１個が５の場合
　青が５、その他は５でない　1/6 * 5/6 * 5/6
　黄が　　〃
　赤が　　〃

2個が５の場合
　青、黄が５、赤が５でない　1/6 * 1/6 * 5/6
　青、赤が　 〃
　黄、赤が　　〃

3個とも５の場合
　1/6 * 1/6 * 1/6

これらは排反事象（同時に起こらない事象）なので、和が回答となります。
面倒です。

だから、余事象の性質を使います。

少なくとも１個は５　の余事象は、全部５でないです。
１から余事象の確率を引けば、求める確率が出ます。

質問者さんのハマった罠は、３個のどれかが５、といった区別があるのか
ないのかハッキリしない、曖昧な一緒くたの扱いで考えた点です。
３個のサイコロの目は独立事象であり、３色に分けて個々を尊重した扱い
をしなくてはならないことに気づかなかった点ともいえます。

確率論入門者が一度は通る罠です。
がんばって学習してください。

No.2 回答者： sak_sak 回答日時： 2010/09/30 23:04

あなたが求めたのは「1回目に5が出る確率」だけです。

もし、この方針でやるなら
1回目は5以外で、2回目は5が出る確率 5/6×1/6×6/6=30/216と
1回目も2回目も5以外で、3回目に5が出る確率 5/6×5/6×1/6=25/216も
足さないといけません。

No.1 回答者： tyoukaifusuma2 回答日時： 2010/09/30 22:36

5が出る確率は1/6、他はどうでもいいから1/6*6/6*6*6

これだと１個目のサイコロが５ではなくて、
２・３個目のサイコロが５だったときの場合を
考えていないので×なのでは。

逆に積が５の倍数にならないのが、
5/6*6/6*6/6
っていうのはおかしいですよね。