絶対値つき方程式 |2|2x-1|-1|=x-1/3 をとけ。
この問題をグラフで考えて解いたのですが、解答は2|2x-1|-1=±(x-1/3)として
(1)2|2x-1|-1=x-1/3を解いて、x=8/9,4/15
(2)2|2x-1|-1=-x+1/3を解いて、x=2/3,2/9
よって、解はx=8/9,2/3と結論づけているのですが、どうしてそういえるのでしょうか。
また、解答は(1)を解く際に、|2x-1|=a とおいて、x=(1+a)/2,(1-a)/2だから、
(1)の解はx=8/9,4/15 と結論づけています。面倒な解答だと思い、(1)を解く時の方法として、他にどのような方法をとれるのか。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
単純に4つに場合分けしたほうが簡単では?
(1) 2x-1≧0、2(2x-1)-1≧0 のとき、2(2x-1)-1=x-1/3
(2) 2x-1≧0、2(2x-1)-1<0 のとき、-(2(2x-1)-1)=x-1/3
(3) 2x-1<0、-2(2x-1)-1≧0 のとき、-2(2x-1)-1=x-1/3
(4) 2x-1<0、-2(2x-1)-1<0 のとき、-(-2(2x-1)-1)=x-1/3
これを整理すれば、
(1) x≧1/2、x≧3/4 のとき、x=8/9
(2) x≧1/2、x<3/4 のとき、x=2/3
(3) x<1/2、x≦1/4 のとき、x=4/15
(4) x<1/2、x>1/4 のとき、x=2/9
この中で条件に合うのは、x=8/9とx=2/3だけです。
No.6
- 回答日時:
左辺と右辺のグラフを描くと黒線が左辺、青線が右辺のグラフで2点で交わります。
この2点の交点のx座標が解になります。
したがって元の方程式の答えはx=2/3とx=8/9と得られます。
>(1)2|2x-1|-1=x-1/3を解いて、x=8/9,4/15
>(2)2|2x-1|-1=-x+1/3を解いて、x=2/3,2/9
>よって、解はx=8/9,2/3と結論づけているのですが、どうしてそういえるのでしょうか。
|2|2x-1|-1|=x-1/3≧0(∵絶対値は正またはゼロ)
∴x≧1/3
この条件を満たすxは x=8/9とx=2/3の2つで
グラフの交点のx座標と一致していることが確認できます。
>解答は(1)を解く際に、|2x-1|=a とおいて、x=(1+a)/2,(1-a)/2だから、
>面倒な解答だと思い、
その通りですね。
>(1)を解く時の方法として、他にどのような方法をとれるのか。
グラフと併用すれば
右側の交点なので
y=2(2x-1)-1とy=x-(1/3)を解けば求まります。
交点のx座標が答えになりますね。
なお(2)は
y=1-2(2x-1)とy=x-(1/3)を解けば求まります。
交点のx座標が答えになりますね。
No.5
- 回答日時:
気がつくだろうが、書き込みミス。
。。。いつもの事か。。。。w(誤)(1)t≧0の時、(3t-1)*(9t-7)=0 → x=2/3、2/9。
(正)(1)t≧0の時、(3t-1)*(9t-7)=0 → x=2/3、8/9。
No.4
- 回答日時:
解答にある場合分けには、条件が伴います。
その条件を明記してないのなら、良い解答とは言えません。例えば、|x-1|=2x+1の絶対値を外すとします。
x-1=2x+1となるのは、x≧1の時だけです。
x-1=-2x-1となるのは、x<1の時です。
絶対値の中身が正か負かにより(1)か(2)かが決まるので、条件も無しで場合分けはできません。
設問に戻ります。
(1)の式になるには、2|2x-1|-1が正でなければなりません。これを解いてみます。
2|2x-1|-1≧0
2|2x-1|≧1
∴x≦1/4もしくは3/4≦x
となります。(ここの出し方は飛ばします)
x=8/9,4/15の2つで、これを満たしているのは8/9ですね。
(2)も同様にしていくと、1/4<x<3/4という条件が出ます。(ちょうど(1)じゃないトコ)
これを満たすのは2/3の方ですね。
そして(1)の解き方ですが、解答の方法以外だと、両辺を2乗するか、グラフでしょう。グラフは解答の場合分けと近いです。
両辺を2乗する方法は、言葉通りです。正でも負でも、2乗すればどちらも正になるので、絶対値が外れます。でも計算が非常にめんどくさいです。
次にグラフで出す方法ですが、絶対値が2つあるときはあまりオススメしません。なので、質問者さんの書いているように、絶対値を1つにしてから使うのがいいと思います。
1.まず少し変形(左辺を絶対値のみにします)
2|2x-1|-1=x-1/3
|4x-2|=x+2/3
2.グラフにするため、2つに分ける
y=|4x-2|
y=x+2/3
3.上の2つのグラフの交点が、求める値。(画像参照)
絶対値があるグラフは、x軸で折り返せばokです。このとき「絶対値だけの式」に直していないと、折り返す場所が様々になるので、1.の変形は大切です。
結局はy=4x-2とy=-4x+2で2回計算しないといけないので、手間としてはあまり変わらないですね。
ただ、解答はこの場合も条件を書いていないようですが、出た2つの値が条件を満たしてない場合もあります。そんなときグラフを書いていると、グラフが交わらずに「あ、解ナシだ」と気づけます。(その場合、点線で書いたとこでグラフが交わってたりします。)
今回の問題では、グラフの恩恵をあまり受けられません。しかし、解の個数を判別するときなどは重宝するので、知っていて損はないと思います。
回答ありがとうございます。
グラフは確かに、絶対値が2個の場合はそんなにわかりやすくないと
思いました。解答では書かれていないけれど。絶対値を外したときに、条件が隠されていたのですね。
No.3
- 回答日時:
誤解されやすい解なので、訂正。
。。。。w(2)t≦0の時、(15t+7)*(27t+15)=0 ところが、-1/3≦t≦0 だから、15t+7=0と27t+15=0は求める解ではない。
No.2
- 回答日時:
我ながら、余りスマートな解法とは思わないが。
2x-1=tとすると、2x=1+tから 条件式は 6|2|t|-1|=3t+1と変形される。
|2|t|-1|≧0から、これは 3t+1≧0、and、36(2|t|-1)^2=(3t+1)^2と同値。
結果は、135t^2-144|t|-6t+35=0
(1)t≧0の時、(3t-1)*(9t-7)=0 → x=2/3、2/9。
(2)t≦0の時、(15t+7)*(27t+15)=0 → x=8/9、4/15。
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