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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
私が回答したこれのことですか。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6273364.html
x=a に固定されている電荷Qによって、座標(x、y、z)にある電荷qに働く力の大きさ(絶対値)は、
F = kQq/距離の2乗
= kQq/{(x-a)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}
= kQq/{(x-a)^2+y^2+z^2}
その力をベクトルで現せば、
F→ = F × Qとqを結ぶ直線と平行な単位ベクトル
= kQq/{(x-a)^2+y^2+z^2} × (x-a,y-0,z-0)/|(x-a,y-0,z-0)|
= kQq/{(x-a)^2+y^2+z^2}^(3/2) × (x-a,y,z)
F→をqで割れば電場です。これをE1→と名づけます。
E1→ = kQ/|(x-a)^2+y^2+z^2|(3/2) × (x-a,y,z)
同様に、x=-a の電荷による電場E2→は、
E2→ = kQ/|(x+a)^2+y^2+z^2|^(3/2) × (x+a,y,z)
E1→とE2→を重ね合わせると、
Etot→ = E1→ + E2→
= kQ/|(x-a)^2+y^2+z^2|^(3/2) × (x-a,y,z) + kQ/|(x+a)^2+y^2+z^2|^(3/2) × (x+a,y,z)
Etot→ のx成分Ex、y成分Ey、z成分Ezは、
Ex = kQ(x-a)/|(x-a)^2+y^2+z^2|^(3/2) + kQ(x+a)/|(x+a)^2+y^2+z^2|^(3/2)
Ey = kQy/|(x-a)^2+y^2+z^2|^(3/2) + kQy/|(x+a)^2+y^2+z^2|^(3/2)
Ez = kQz/|(x-a)^2+y^2+z^2|^(3/2) + kQz/|(x+a)^2+y^2+z^2|^(3/2)
以上のことは、
Etot→ = Exi→ + Eyj→ + Ezk→
とも表せることは、もちろんのことです。
「x軸上」であれば、y=z=0なので、
Ex = kQ(x-a)/|(x-a)^2+0^2+0^2|^(3/2) + kQ(x+a)/|(x+a)^2+0^2+0^2|^(3/2)
= kQ(x-a)/|x-a|^3 + kQ(x+a)/|x+a|^3
= kQ(x-a)/{(x-a)^2・|x-a|} + kQ(x+a)/{(x+a)^2・|x+a|}
= kQ/{(x-a)・|x-a|} + kQ/{(x+a)・|x+a|}
Ey = 0
Ez = 0
-a<x<a のとき
Ex = kQ/{(x-a)・(-(x-a))} + kQ/{(x+a)・(x+a)}
= -kQ/(x-a)^2 + kQ/(x+a)^2
= kQ{-(x+a)^2 + (x-a)^2}/{(x-a)^2(x+a)^2}
= -4kQax/(x^2-a^2)^2
原点からの変位xがaに比べて微小ということは、x^2≪a^2 なので、
Ex ≒ -4kQax/(0^2-a^2)^2
= -4kQx/a^3
以上のことから、
Etot→ = (-4kQx/a^3, 0, 0)
qに働く力は、
qEtot→ = (-4kQqx/a^3, 0, 0)
No.2
- 回答日時:
a > 0 としても一般性は失われない。
x = - a にある電荷 Q が座標 x の点に作る電場ベクトルを E(x) とすると、x = a にある電荷 Q が |x| < a なる x に作る電場ベクトルは - E(-x)。それらふたつの電荷の作る合成電場ベクトルはEt(x) = E(x) - E(-x) 。
|x| << a のときは
E(x) = E(0) + x dE/dx(0)
としてよいので
Et(x) = {E(0) + x dE/dx(0)} - {E(0) + (-x)dE/dx(0)}
= 2 x dE/dx(0) 。
電荷 q に働く力は
F = q Et(x)
= 2 q x dE/dx(0) 。
具体的には
E(x) = k Q / (x + a)^2
なので
dE/dx = - 2 k Q / (x + a)^3 、
dE/dx(0) = - 2 k Q / a^3 。
よって
F = - 4 k q Q x / a^3 。
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