物理の問題なんです・・。

物理の問題なんです・・。
電荷ｑが原点付近にあり、２つのＱの電荷がｘ軸上のｘ＝ａおよびｘ＝－ａに固定されている（ｑ＞０、Ｑ＞０）。ｑがｘ軸上に沿って運動するとき、原点からの変位ｘがａに比べて微小であるとしてｑに働く力を求めよ。
という問題なんですが・・クーロンの法則をそのまま使うやり方ではなく、ベクトルの電場Ｅを使って求めるやり方が分かる人はいますでしょうか。。教えていただきたいです(>_<)

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2010/10/31 00:59

こんにちは。

私が回答したこれのことですか。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6273364.html

ｘ＝ａ　に固定されている電荷Ｑによって、座標（ｘ、ｙ、ｚ）にある電荷ｑに働く力の大きさ（絶対値）は、
Ｆ　＝　ｋＱｑ／距離の２乗
　＝　ｋＱｑ／｛（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－０）^2＋（ｚ－０）^2｝
　＝　ｋＱｑ／｛（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｝

その力をベクトルで現せば、
Ｆ→　＝　Ｆ　×　Ｑとｑを結ぶ直線と平行な単位ベクトル
　＝　ｋＱｑ／｛（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｝　×　（ｘ－ａ，ｙ－０，ｚ－０）／｜（ｘ－ａ，ｙ－０，ｚ－０）｜
　＝　ｋＱｑ／｛（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｝^(3/2)　×　（ｘ－ａ，ｙ，ｚ）

Ｆ→をｑで割れば電場です。これをＥ１→と名づけます。
Ｅ１→　＝　ｋＱ／｜（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜(3/2)　×　（ｘ－ａ，ｙ，ｚ）

同様に、ｘ＝－ａ　の電荷による電場Ｅ２→は、
Ｅ２→　＝　ｋＱ／｜（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)　×　（ｘ＋ａ，ｙ，ｚ）

Ｅ１→とＥ２→を重ね合わせると、
Ｅtot→　＝　Ｅ１→　＋　Ｅ２→
　＝　ｋＱ／｜（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)　×　（ｘ－ａ，ｙ，ｚ）　＋　ｋＱ／｜（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)　×　（ｘ＋ａ，ｙ，ｚ）

Ｅtot→　のｘ成分Ｅｘ、ｙ成分Ｅｙ、ｚ成分Ｅｚは、

Ｅｘ　＝　ｋＱ（ｘ－ａ）／｜（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)　＋　ｋＱ（ｘ＋ａ）／｜（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)

Ｅｙ　＝　ｋＱｙ／｜（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)　＋　ｋＱｙ／｜（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)

Ｅｚ　＝　ｋＱｚ／｜（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)　＋　ｋＱｚ／｜（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2＋ｚ^2｜^(3/2)

以上のことは、
Ｅtot→　＝　Ｅｘｉ→　＋　Ｅｙｊ→　＋　Ｅｚｋ→
とも表せることは、もちろんのことです。


「ｘ軸上」であれば、ｙ＝ｚ＝０なので、

Ｅｘ　＝　ｋＱ（ｘ－ａ）／｜（ｘ－ａ）^2＋０^2＋０^2｜^(3/2)　＋　ｋＱ（ｘ＋ａ）／｜（ｘ＋ａ）^2＋０^2＋０^2｜^(3/2)
　＝　ｋＱ（ｘ－ａ）／｜ｘ－ａ｜^3　＋　ｋＱ（ｘ＋ａ）／｜ｘ＋ａ｜^3
　＝　ｋＱ（ｘ－ａ）／｛（ｘ－ａ）^2・｜ｘ－ａ｜｝　＋　ｋＱ（ｘ＋ａ）／｛（ｘ＋ａ）^2・｜ｘ＋ａ｜｝
　＝　ｋＱ／｛（ｘ－ａ）・｜ｘ－ａ｜｝　＋　ｋＱ／｛（ｘ＋ａ）・｜ｘ＋ａ｜｝

Ｅｙ　＝　０

Ｅｚ　＝　０

－ａ＜ｘ＜ａ　のとき
Ｅｘ　＝　ｋＱ／｛（ｘ－ａ）・（－（ｘ－ａ））｝　＋　ｋＱ／｛（ｘ＋ａ）・（ｘ＋ａ）｝
　＝　－ｋＱ／（ｘ－ａ）^2　＋　ｋＱ／（ｘ＋ａ）^2
　＝　ｋＱ｛－（ｘ＋ａ）^2　＋　（ｘ－ａ）^2｝／｛（ｘ－ａ）^2（ｘ＋ａ）^2｝
　＝　－４ｋＱａｘ／（ｘ^2－ａ^2）^2

原点からの変位ｘがａに比べて微小ということは、ｘ^2≪ａ^2　なので、
Ｅｘ　≒　－４ｋＱａｘ／（０^2－ａ^2）^2
　＝　－４ｋＱｘ／ａ^3

以上のことから、
Ｅtot→　＝　（－４ｋＱｘ／ａ^3，　０，　０）

ｑに働く力は、
ｑＥtot→　＝　（－４ｋＱｑｘ／ａ^3，　０，　０）

この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました

お礼日時：2010/11/07 17:09

No.2 回答者： -ok 回答日時： 2010/10/31 05:27

a > 0 としても一般性は失われない。

x = - a にある電荷 Q が座標 x の点に作る電場ベクトルを E(x) とすると、x = a にある電荷 Q が |x| < a なる x に作る電場ベクトルは - E(-x)。それらふたつの電荷の作る合成電場ベクトルは
Et(x) = E(x) - E(-x) 。
|x| << a のときは
E(x) = E(0) + x dE/dx(0)
としてよいので
Et(x) = {E(0) + x dE/dx(0)} - {E(0) + (-x)dE/dx(0)}
　　　= 2 x dE/dx(0) 。
電荷 q に働く力は
F = q Et(x)
　= 2 q x dE/dx(0) 。

具体的には
E(x) = k Q / (x + a)^2
なので
dE/dx = - 2 k Q / (x + a)^3 、
dE/dx(0) = - 2 k Q / a^3 。
よって
F = - 4 k q Q x / a^3 。

この回答へのお礼

ありがとうございました。分かりやすかったです。

お礼日時：2010/11/07 17:10