直方体ABCD-EFGHにおいて、AE=√10、AF=8、AH=10とする。
このとき、FH=12、cos∠FAH1/8である。また、△AFHの面積は15√7である。
次に、∠AFHの二等分線と辺AHの交点をP、∠FAHの二等分線と辺FHの交点をQ、線分FPと線分AQの交点をRとする。(Rは△AFHの内心)
また、AP=4、PF:PR=3:1となる。
これより、四面体EAPRの体積を求めよ。
PF:PRの比率まで出たのですが体積が解けません(>_<)
どなたか教えてください!
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
直方体の体積Vは底面積x高さで出ます。
V=EF*EH*AE …(1)
AE=√10なのでEFとEHの2辺の長さを求めればよい。
3平方の定理から
EF=√(AF^2-AE^2)=√(64-10)=3√6…(2)
EH=√(AH^2-AE^2)=√(100-10)=3√10…(3)
よって(1)から
V=3√6*3√10*√10=90√6…(4)
さて四面体EAPRの体積V4であるが,△EAPを底面、Rを頂点とする三角錐と見れば、
底面の面積△EAP=△EAH*AP/(AP+PH)=△EAH*8/(8+12)
(∵△RAPで角の2等分定理を用いればAP:PH=AF:FH=8:12)
=△EAH*(2/5)=AE*EH*(1/2)*(2/5)=√10*3√10*(1/2)*(2/5)=6
(∵(3)より)
四面体EAPRの高さ=EF*(PR/PF)=3√6*(1/3)=√6
(∵(2)より)
以上から
∴四面体EAPRの体積=△EAP*(四面体EAPRの高さ)/3=6*√6/3=2√6
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