
△ABCで、AB=15,BC=9,CA=4√6、のとき、
△ABCの外接円の点Cにおける接線と直線ABとの交点をDとする。
BDの長さを求めよ。
正しい図は、交点Dが点Bを延長した側にある。
これを間違えて、点Aを延長した側に点Dがあるとして計算を次のようにしました。
DBをxとおいて、CDをyとして
方べきの定理から、x^2-15x=y^2
△DBCに余弦定理をつかってy^2=x^2+9^2-2・x・9・(7/9)
(余弦定理からcosB=7/9)
2つの式から、x=-81とでました。
ここから次のように解釈して答えとしていいでしょうか。よろしくおねがいします。
xの値がマイナスだから、xの表す向きはマイナスで、交点Dが点Bを延長した側にある。
よって、BDは81
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
> ここから次のように解釈して答えとしていいでしょうか。
良くはないでしょう。
この場合、Dが線分ABのどちら側の延長線上にあるか分からないとして、
仮に、(1)Aの側にあるときBD=x、(2)Bの側にあるときBD=-xとすると、
(直線AB上でBを基準にしたDの相対的な位置をB→Aの向きを正として
表わしたものをxとする、と言っても構いません)
(1)のとき、BD=x、AD=x-15、CD=y、cos∠DBC=7/9、
(2)のとき、BD=-x、AD=-x+15、CD=y、cos∠DBC=-7/9
ですから、これらをそれぞれ法べきの定理・余弦定理に当てはめて
方程式を作ると、(1)のときも(2)のときも全く同じ式になります。
したがって、この連立方程式を解き、出てきたxの値がもし正であれば
Aの側、負であればBの側にDが存在し、そのxの絶対値がBD間の距離
であると、確かに言えます。
しかし、以上のようなことは、自明ではありません。
Dが反対側にある場合も、BD=-xとおけば同じ方程式が成り立つことを
確認したうえでの解答であるなら問題はありませんが、それをせずに
たまたま負になったから反対側ということだろう、というのでは、ただの
あてずっぽうでしかありません。
答案も、全くの見当違いの解法でたまたま同じ答えになっただけ、
という扱いにされるでしょう。
まあ、マークシートの問題なら、せっかく出てきた答えが逆に条件を
満たしていることさえ確認さえすればOKというしかないですけどね。
回答ありがとうございます
したがって、この連立方程式を解き、出てきたxの値がもし正であれば
Aの側、負であればBの側にDが存在し、そのxの絶対値がBD間の距離
であると、確かに言えます。
このことは、この問題に限っていえることで他の問題の場合はいえない。
ということなのか、一般的にいえることではあるが、長さをプラスにした
場合で確認する必要があるのか。
同じことですが、自明でないということは、マイナスの場合、逆方向としてよいが、
説明がなければならない。ということなのでしようか。
もう一度説明があればうれしいと思います。
No.4
- 回答日時:
#3です。
> このことは、この問題に限っていえることで他の問題の場合はいえない。
そういうことです。
今回の問題ではたまたま、逆方向にXをとっても同じ式になりましたが、このような
ことが一般に成り立つと考えるのは明らかに無理があります。
多くの場合は、誤った図をもとに式を立てれば、完全に間違った式になり、
真の解の符号を逆にしたものなどではなく、全く無関係の解が得られるでしょう。
なお、もし仮に他の問題でも成り立つようなことであったとしても、広く定理として
認められていることでないのなら、やはり答案ではそこから示してやる必要が
あります。
回答ありがとうございます
多くの場合は、誤った図をもとに式を立てれば、完全に間違った式になり、
真の解の符号を逆にしたものなどではなく、全く無関係の解が得られるでしょう。
間違った図のうちで長さの方向を逆にした場合、出てきた答えの解釈をどうするのか
興味がありました。長さの方向が逆以外の間違った図の場合は、考えるのは論外であるが。
No.1
- 回答日時:
勝手な解釈して、いいかどうかの問題ではない。
完全な誤答。方べきの定理から、y^2=x(x+5) ← ここがすでに違ってる。
cosB=7/9から、cos(∠DBC)=cos(π-B)=-7/9.
△DBCに余弦定理を使うと、y^2=x^2+9^2-2・x・9・(-7/9) =x^2+81+14x だから、x=81。
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